The Cultural Divide between Mathematics and AI

2025年联合数学会议上观察到的文化差异反思

2025年3月11日 分享

HackerNews Discussion

今年一月，我参加了主题为“我们决定我们的未来：AI 时代的数学”的 Joint Mathematics Meeting (JMM)。那真是一场讲座和交流的盛宴，我发现自己穿梭于会议大厅，参加我熟悉的领域（如：modular forms）的会议，以及我很高兴能深入研究的新领域（如：knowledge graphs），以及许多关于 AI 在数学中的应用的讲座。

JMM 由 American Mathematical Society (AMS) 和 Mathematical Association of America (MAA) 联合举办，是美国规模最大的数学家聚会，被描述为“数学界的家庭聚会”(Saxe, 2019)。自 2009 年以来，我一直参加这个会议，并且一直很享受这种社区感。然而，今年我感受到了数学研究人员和工业界 AI 从业人员之间明显的文化差异。需要明确的是，这并非评判——我曾在两个领域都工作过，并且非常尊重每个领域正在进行的工作。但这些社区受到不同力量和现实的影响，从而导致了不同的视角、价值观和方法。

随着人们对 AI 为数学做出贡献的潜力越来越兴奋，我担心这种热情并不总是伴随着对数学真正是什么以及不是什么的细致理解。我试图阐明这些差异，并希望能搭建一座桥梁，以促进更好的合作。我也在构建工具来帮助使研究更具确定性。

来自 JMM 2025 的观察

根据官方项目统计数据，2025 年 JMM 吸引了超过 6,000 名参会者和超过 2,500 场演讲，其中约 15% 明确关注与 AI 相关的主题——与仅仅五年前此类会议仅占项目不到 3% 的情况相比，这是一个显着增长。

2025 年 JMM 在许多方面都是一个对比研究。传统的数学会议以其通常的严谨性和深度进行，而较新的以 AI 为中心的会议则充满了推测和可能性。在整个会议期间，我注意到演讲者面临着一种微妙的压力，无论相关性如何，都要将 AI 主题融入到他们的演讲中。有些人创造性地接受了这一挑战，而另一些人则礼貌地避开它，专注于他们的核心研究。

在整个会议期间，我听到有人开玩笑说，数学家被“垃圾邮件，提供用钱解决数学问题”以帮助训练 AI 模型。

一位资深教授的评论抓住了这种差异的本质：“他们的激励机制与我们的不同。”这句简单的话语深刻地揭示了推动学术数学和工业界 AI 研究的不同动机。数学家传统上为了理解而追求理解，而行业研究人员最终必须交付为他们的组织创造价值的产品、功能或能力。

人们公开表达了对 AI 发展的各个方面的担忧：潜在的军事应用、研究缺乏透明度、巨大的能源消耗，以及随着研究集中在资金充足的私人实验室中而日益增长的精英主义。许多人将艺术家如何应对 AI 入侵其创意领域的情况进行了比较——既有迷恋、适应，也有抵抗。

也许最能说明问题的是，一些数学家对 AI 研究日益保密表示悲伤。长期以来，数学一直以开放性和透明性为荣，成果可以自由分享和讨论。主要 AI 实验室封闭研究——以及合作的数学家无法讨论他们的工作——代表了与数学传统的重大文化冲突。这种紧张关系让人想起 Michael Atiyah 对研究保密的警告：“数学在开放中蓬勃发展；保密是对其进步的诅咒”(Atiyah, 1984)。

在讨论与工业界的合作时，开放性和保密性之间的紧张关系尤为明显。 William Thurston 在他的开创性论文“论数学的证明和进展”(1994) 中强调“数学是一项共同努力”，但多位与会者对 AI 研究实验室日益保密以及合作的数学家无法公开讨论他们的工作表示沮丧。

数学的本质

数学是什么

要理解文化差异，我们首先必须理解数学的真谛。 Paul Halmos 在《我想成为一名数学家》（1985）中对此进行了精辟的概括：“当年轻人看到一个困难定理的证明时，他们会钦佩这项成就，并且会想：这个证明是如何发现的？我怎么能发明类似的东西？书中没有给出任何提示。” 这说出了一个基本事实：数学主要不是寻找证明；而是建立理解。

Richard Feynman 在《别闹了，费曼先生！》（1985）中分享了一个关于数学家的幽默观察，实际上揭示了数学文化的一个深刻真理：

“在普林斯顿研究生院，物理系和数学系共用一个公共休息室......我仍然记得一个人坐在沙发上，非常努力地思考，另一个人站在他面前说，‘因此，诸如此类的东西是真的。’‘为什么？’沙发上的人问道。‘这很简单！这很简单！’站着的人说，他迅速地叙述了一系列的逻辑步骤……高速地持续了大约十五分钟！最后，站着的人走到了尽头，沙发上的人说，‘是的，是的。这很简单。’ “我们物理学家都在嘲笑，试图理解他们。我们认为‘简单’意味着‘已证明’。因此，我们和数学家开玩笑：‘我们有一个新的定理——数学家只能证明简单的定理，因为每个被证明的定理都是简单的。’”

然而，在数学界，这种“简单”的概念实际上反映了最高的愿望：深刻地理解一个概念，以至于最初看起来复杂的东西变得显而易见。这就是希尔伯特问题——曾经被认为是数学中最具挑战性的问题——的解决方案最终如何在本科课程中作为快速推论来教授的原因。

这种对理解的优先考虑解释了为什么黑盒证明虽然偶尔会被接受，但很少被认为是令人满意的。证明的价值通常在于它能够阐明结果为什么是正确的，而不仅仅是它是正确的。以 Apéry 对 ζ(3) 无理性的证明为例：最初是神秘的，但最终导致了 Beukers 积分和其他融入更广泛理论框架的发展。

这种对深刻理解的追求也解释了数学研究生经常遇到的经历：向导师提问，却被告知“阅读这些书，几个月后再回来”。有时会有一个快速的答案，但它可能不会培养出正确的思考问题的方式。我甚至听到教授警告说，阅读错误的 books 可能会“导致脑损伤”——这是一种生动的说法，即过早或不对齐的解释可能会阻碍更深入的理解。正如高斯所说，数学掌握没有“皇家大道”。

数学文化和价值观

数学非常重视优雅。 G.H. Hardy 在《一位数学家的道歉》中，着名地论证了数学是一种审美追求，可以与诗歌或绘画相媲美。这种对美和优雅的关注不仅仅是风格偏好——它通常会带来更深刻的见解和更强大的概括。

这种文化还以深刻的谦逊为标志，体现在牛顿关于“站在巨人肩膀上”这句话中。年轻的数学家很快就会认识到，尽管他们有天赋和抱负，但他们首先必须彻底理解前人所做的一切。那些跳过这一步，认为他们可以在不掌握其基础知识的情况下彻底改变一个领域的人，通常会被社区贴上“怪人”的标签。

数学本质上是开放和透明的。结果可以自由分享，方法可以公开讨论，社区可以共同验证和构建已建立的工作。这种透明性不仅仅是哲学上的——它实际上是实用的，可以让数学家相互学习，并共同推进该领域的发展。

数学中的人为因素至关重要，并且常常被低估。虽然数学真理可能是客观的，但发现它们的过程是深刻的人为因素，依赖于直觉、创造力和协作。尽管理论上任何人都可以参与数学研究（鉴于其开放和确定的性质），但导师提供的指导和大学培养的社区仍然非常宝贵。导师不仅仅指导研究；他们还帮助学生培养品味、直觉以及驾驭浩瀚的数学文献的能力。 《普林斯顿数学指南》（2008 年）包括一个名为“给年轻数学家的建议”的部分，其中包含 Michael Atiyah 爵士、Béla Bollobás、Alain Connes、Dusa McDuff 和 Peter Sarnak 的贡献，所有人都强调了指导和社区在数学发展中的重要性。

数学中的归属感凸显了这种人为因素。结果通常以人名命名，而不是从功能上描述，例如“Tate's Thesis”这样的结果，像“the Langlands program”这样的研究领域，或像 CFKRS (Conrey, Farmer, Keating, Rubinstein, and Snaith) 这样的合作作品。这些名称通常不是自己分配的，而是从社区中有机地产生的。在 Constance Reid 的《希尔伯特》（1970 年）中记载了一个着名的轶事，希尔伯特曾经在一次讲座后问道：“什么是希尔伯特空间，确切地说？”

数学文化中一个突出的特点是作者按字母顺序排列的规范。与许多科学领域不同，数学没有“第一作者”或“资深作者”的概念；贡献者只是按字母顺序排列。正如 Ludo Waltman 的“科学出版物中按字母顺序排列的作者的实证分析”（2012 年）所记载的那样，超过 75% 的数学论文使用字母顺序排列，而医学和生物学中这一比例不到 4%。也有一些例外，比如 Adleman 坚持在 RSA 论文中排在最后。

这反映了数学中更深层次的文化价值观。几位发言者指出，数学与其他领域在导师-学生出版物方面的对比非常鲜明。虽然许多学科都期望导师成为学生论文的合著者，但 American Mathematical Society 的指导原则是，知识贡献应通过作者身份而非通过角色或职位来反映。一位年轻的数学家描述说，当另一个部门的同事假设她的导师将成为她的论文的合著者时，她感到震惊，并引用了她导师的回答：“如果我的贡献足以成为合著者，你就不会有很多论文，对吧？” 正如 Peter Sarnak 在“给年轻数学家的建议”（2008 年）中指出的那样：“数学博士生应该能够相当独立地工作，他们通常也是如此。”

数学过程

数学需要极大的耐心。 Terence Tao 在他的博客文章“要有耐心”（2007 年）中建议年轻的数学家“从对问题的第一个基本见解到完整的解决方案可能需要数年时间”。许多数学家报告说，由于需要高度集中注意力，他们每天只能抽出大约两个小时真正高效的研究时间。在 Jacques Hadamard 的《数学领域发明的心理学》（1945 年）中，他记录了数学思维通常需要长时间的无意识处理，并以灵感时刻为结尾。

阅读数学论文也同样具有挑战性，有时需要整整一天才能处理一页。这不是被动阅读，而是主动参与：测试断言、处理示例以及将新想法与已建立的知识联系起来。我效率最高的一些日子包括盯着空白页几个小时，写下一个简单的公式，并对这种适度的进步感到真正兴奋。

Andrew Wiles 花了七年时间研究费马大定理，他反思了解决问题的方法：“也许我可以最好地用穿越黑暗未知的豪宅之旅来描述我做数学的体验”（PBS Nova，《证明》，1997）。不断努力形式化这一证明表明数学形式化是多么复杂和资源密集，而 Lean（一种正式的证明验证系统）中类似 mathlib 这样雄心勃勃的努力估计仅包含约 1% 的已知数学定义和证明。

数学知识的规模是惊人的。最好的本科课程通常只在数学发展方面将学生带到 20 世纪中叶。最后被认为对该领域有全面了解的数学家是希尔伯特和庞加莱，他们都是一个多世纪以前的人物。

数学语言的精确性和密度常常让其他学科的人感到震惊。正如 Norman Steenrod 在《如何撰写数学》（1973 年）中观察到的那样，数学写作旨在“以最短的阅读时间获得最大的信息”——这种效率必然会产生需要仔细拆解的密集文本。 James Kaput 对“数学与学习”的研究 (1987) 表明，数学符号是一种认知工具，可以将复杂的概念压缩成易于管理的符号。在攻读博士学位期间，我在其他部门上课时亲身经历了这种文化冲击。工程和计算机科学课程通常在前几个课程中激发材料并解释潜在的应用。相比之下，我的研究生数学研讨会更像是一种学徒制——直接深入到密集的材料中，并理解精通会逐渐揭示底层结构及其应用。

我在斯坦福大学担任助教的经历中最有价值的见解之一是认识到学生从根本上误解了数学的难度。许多人期望通过充分的学习和记忆能够以算法方式解决任何测试问题。他们经常震惊地发现，即使是教师也必须进行大量的解决问题，尝试多种方法并在找到解决方案之前经历失败。正如 Alan Schoenfeld 在他的标志性著作《数学问题解决》（1985 年）中所记录的那样，数学方面的专业知识的特征不是记忆，而是战略思维、启发式方法以及对一个人解决问题过程的元认知意识。

AI 与数学

在 JMM 上，人们对 AI 如何为数学做出贡献进行了大量讨论。有趣的是，大多数数学家感兴趣的不是 AI 创造新的数学，而是处理和组织现有知识——帮助连接领域、在子域之间转换符号以及自动化日常计算。

Yann LeCun 的演讲讨论了基于下一个 token 预测的大型语言模型在数学推理方面的局限性，同时强调了更有希望的方法，例如 JEMA。几位发言者指出，AI 工具可能特别有价值，可以用于搜索和组织快速扩展的数学文献——许多人认为通过传统方法越来越难以管理这一挑战。

不同的价值体系

一个小组分享的一个揭示性的轶事突出了文化差异：当 AI 系统重现已知的数学结果时，数学家们很兴奋（将此视为验证系统能力的一种方式），而 AI 研究人员则感到失望（希望有新的发现）。这反映了根本不同的目标：数学家寻求对既定真理的更深入理解，而 AI 研究人员通常优先考虑新的结果。数学家们认为这是对系统能力及其理解现有数学的潜力的验证，而 AI 研究人员则希望有新的发现。

几位发言者讨论了数学相关性的挑战：在人们可以证明的无限多的真实陈述中，哪些是重要的？数学重视的不仅仅是真和可证明的结果，而且还是我们关心的——这种判断需要数学品味、背景和社区价值观。

人们对 AI 在日常数学工作中提供帮助的潜力充满热情。 Robert Ghrist 使用 AI 加速教科书写作的经验（在“实用 AI 供工作数学家使用”中详细介绍）引起了特别的兴趣，因为这是一种务实的应用程序，可以支持而不是取代数学思维。

形式方法和自然语言方法之间的争论反映了另一种紧张关系。一些数学家支持像 Lean 这样的形式证明系统，这些系统提供严格的验证，但需要翻译成特定的形式语言。另一些人则提倡更符合数学家通常沟通方式的自然语言方法。两种方法都有优点，但它们反映了不同的优先事项和价值观。

也许 AI 研究和数学之间最根本的区别在于它们生成知识的方法。 AI 研究——尤其是在深度学习方面——一直都是经验性的。正如在几次演讲中指出的那样，这种经验性的关注通常与传统的理论框架相矛盾。 Vladimir Vapnik 的《统计学习理论》是许多经典机器学习的基础，他于 1998 年发表了一篇作品，着名地表达了对神经网络的怀疑，认为对于许多复杂的任务，它们在理论上应该是无法训练的。 Zhang 等人 2017 年发表的具有影响力的论文“理解深度学习需要重新思考泛化”直接面对这种脱节，记录了深度学习如何在经验上取得成功，尽管有理论原因表明它不应该成功。

未来的影响和担忧

一个问题引起了特别的关注：如果 AI 系统产生了主要猜想（例如黎曼猜想）的证明，但该证明对于人类来说过于复杂而无法理解，会发生什么？这样的结果会令人满意吗？它会促进数学理解吗？人们似乎一致认为，虽然这样的证明在技术上可能解决了猜想，但它未能提供数学家真正寻求的更深入的理解。

一些 AI 研究人员自信地预测，AI 将在五年内解决一个重要的未解决问题——这一说法让许多数学家持怀疑态度，这不一定是对 AI 能力的怀疑，而是对构成有意义的数学进步的怀疑。在大多数数学家看来，没有概念进步的技术成就是不完整的。

弥合鸿沟

《美国数学学会公告》关于 AI 和数学的特刊 (2023) 为理解这些不同的观点奠定了极好的基础。 Jeremy Avigad 在他的文章“数学和形式化转向”中写道：“数学一直致力于提出能够让我们更有效地思考、精确地沟通、解决难题并就我们的主张是否合理达成稳定共识的抽象概念……我们可以使用技术做很多事情，但如果我们没有使用它来做这些事情，那么我们可能就没有在做数学。”

Akshay Venkatesh 提出了一个有趣的贝叶斯模型，用于数学家如何为结果分配重要性：当一个猜想暗示另一个猜想时，我们会更新我们对两者难度的估计；当数学家证明了一个具有挑战性的结果时，我们会更新我们对数学家和结果的评估。在他的演讲“数学中的价值和难度”中提出的这个框架表明，AI 系统可能会极大地改变这些计算，但许多问题可能仍然无法触及，从而保留了人类洞察力的价值。

潜在的协作框架

AI-数学合作最有希望的领域是从对数学需求的诚实评估中出现的：

  1. 文献管理：AI 可以帮助数学家浏览大量的已发表作品，识别相关的论文以及看似不同的领域之间的联系。
  2. 定理验证：由 AI 增强的形式验证系统可以帮助检查证明并识别细微的错误或差距。
  3. 重构证明：AI 可能会帮助以更通用或更优雅的形式重申现有结果，从而揭示潜在的模式。
  4. 教学和可访问性：AI 工具可以使数学更容易被学生和那些没有传统机构访问权限的人访问。
  5. 反例生成：AI 系统可能擅长于查找错误猜想的反例，从而使数学家免于追求无成效的路径。

在 AI 时代保持数学文化

在整个讨论过程中，出现了一个始终如一的主题：在拥抱技术进步的同时，保持数学的人文性、开放性和以理解为中心的文化的重要性。

几位发言者提出了尊重数学价值观的协作框架：开放的研究共享、关注解释而不仅仅是结果，以及保持人为监督和解释。人们的共识是，AI 应该作为扩展人类数学能力的工具，而不是取代人类数学家。

结论

数学和 AI 之间的文化差异不是不可逾越的障碍，而是相互学习和成长的机会。这两个社区都带来了有价值的观点：数学提供了严谨、耐心和美学的深厚传统，而 AI 研究则带来了活力、资源和新的计算方法。

弥合这种鸿沟需要相互尊重和理解。 Albert Einstein 着名地说：“所有科学的伟大目标是以最少的假设或公理通过逻辑推导来涵盖最大数量的经验事实”（引自 Dyson，2006 年）。这种追求将数学家和 AI 研究人员团结在一起，尽管他们可能从不同的角度来处理它。

作为在两个领域都工作过的人，我看到了在尊重两种传统中最好的方面的合作中蕴藏着巨大的潜力，并且我正在努力构建工具来在 Sugaku 上实现这一点。 AI 不会“解决”数学，我们也不应该希望它这样做，但它可能会帮助我们更有效地探索数学领域，连接不同的知识领域，甚至可能为人类的创造力和洞察力提出新的方向。

数学已经发展了数千年，吸收了新的工具和方法，同时保持了其基本特征。我确信它将在 AI 时代继续这样做——不是通过抵制变化，而是通过深思熟虑地将这些新功能融入其丰富的知识传统中。

参考文献和资源

《美国数学学会公告》关于 AI 和数学的特刊

Terence Tao 的博客文章

关于数学的其他观点

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