面向初学者的数学史 (History of Maths)
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2025年3月13日 · 下午1:24
History of maths for beginners!
在我最近一篇关于数学史书籍的文章的评论中，my recent post on books on the history of maths，Fernando Q. Gouvêa 推荐了 Math Through the Ages : A Gentle History for Teachers and Others 这本书，他与 William P. Berlinghoff 共同撰写。 我以前没有接触过这本书，正如我在文章中指出的那样，我很久以前就放弃阅读一般的数学史了。所以，我去找了一下，发现了以下热情洋溢的推荐：
“ Math Through the Ages 是一笔宝贵的财富，是同等水平上最好的数学史书籍之一。 不知何故，它在尊重读者需求的同时，设法忠实于一个令人惊讶的复杂故事。 它对主题的概述捕捉了人们需要知道的大部分内容，而这30个草图是阐述的小宝石，可以激发进一步的探索。” — Glen Van Brummelen, Quest University
Glen Van Brummelen 是一位出色的数学史学家，经常阅读我文章的读者已经知道我是他的三角学历史书籍的忠实粉丝，which I reviewed here. 受到启发，我决定购买一本看看它是否符合 Glen 的描述。 我购买的这本书是 Dover 出版社 2019 年重印的平装本，是 Oxton House Publishers 在 Farmington, Maine 出版的第二版，在美国的建议零售价为 18 美元，对于其目标受众，即学校、学院和大学生来说，这肯定是负担得起的。 封面上的宣传语说：“专为刚开始学习这门学科的学生而设计……”
这本书的与众不同之处在于，它不是一本长篇连续的叙述，涵盖了数学历史发展的按时间顺序的进展，这是一卷历史书的通常格式。 相反，它以一个相对简短的概述开始，只有五十八页，标题为 The History of Mathematics in a Large Nutshell ，然后在 Van Brummelen 的推荐中展示了三十个草图。 这些是对数学史上单个主题的简要阐述，每个主题都被构思并呈现为一个完整的、独立的教学单元。 然而，这些草图包含对其他单元的引用，在其他单元中，当前单元中使用的术语或概念得到了更充分的解释。 通常，在评论书籍时，我通常会将书目的讨论留到评论的最后，但在这种情况下，书目是单元演示的组成部分。 该书目包含一百八十个编号的标题，按作者姓名按字母顺序排列。 在每个草图的末尾，都有一个标题编号列表，读者可以在其中找到有关草图主题的更多信息。 在草图本身中，此推荐系统也适用于单个主题。 草图和书目之间的互动是本书教学结构的一个非常核心的方面。
考虑到它非常明显的局限性，我自己远非完整的数学史调查现在占据了超过两米的书架空间，这还不包括我拥有的关于天文学、物理学、航海、制图学、技术等历史的众多书籍，这些书籍包含数学史的元素，Large Nutshell 实际上相当不错。 它概述了美索不达米亚、埃及、中国、古希腊、印度和伊斯兰帝国的数学发展，然后跳到 15 和 16 世纪的欧洲，并从那里相当大的步骤下降到今天。 当然，许多作者可能认为重要的东西被遗漏了，但它仍然设法给出了数学史的深度和广度的一般感觉。 真正的工作始于 Sketches。
Sketch No.1 自然是 Keeping Count : Writing Whole Numbers。 我们的作者对埃及、美索不达米亚、玛雅、罗马和印度-阿拉伯数字系统进行了胜任但简短的描述，但不认为希腊系统值得一提。 他们当然强调了使用罗马数字进行计算的难度，正如每个人都做的那样，但至少提到了计算实际上是用算盘或算盘进行的，但似乎没有意识到算盘是算盘的希腊语名称，这个错误导致他们在另一个草图中出现了一个愚蠢的说法。 他们也没有提到每个人，美索不达米亚人、希腊人、埃及人等都使用算盘进行计算。 他们当然会提到这一点，以便强调印度-阿拉伯数字在纸上进行计算的优势，这导致了后来的另一个错误。
Sketch No.2 Reading and Writing Arithmetic : The Basic Symbols 现在大大地跳到了文艺复兴时期符号算术的引入，以取代之前的修辞算术。 这按时间顺序通过各种创新，包括，不幸的是，Robert Recorde 是第一个引入等号的神话。 还行，但他们承认他们的简短草图跳过了许多，许多不时使用的符号。
几乎可以预见的是，Sketch No.3 是 Nothing Becomes a Number : The Story of Zero。 我们从巴比伦人开始，他们有一个位值数字系统，并在很长一段时间没有之后，引入了一个占位符零。 然后我们跳到印度，然后直接跳到阿拉伯人，以及零这个词的逻辑起源，然后在书中出现第一个主要错误。 我们的作者告诉我们：
到公元 9 世纪，印度人已经实现了一个概念上的飞跃，这被认为是历史上最重要的数学事件之一。 他们已经开始将 sunya ，数量的缺失，视为其自身的数量！ 也就是说，他们已经开始将零视为一个数字。 例如，数学家 Mahāvīra 写道，一个数乘以零结果为零，一个数减去零后该数保持不变。 他还声称，一个数除以零保持不变。 几个世纪后。 Bhāskara 宣称，一个数除以零是一个无限量。
坦率地说，这很奇怪！ 早在公元 628 年，Brahmagupta（约 598–约 668）在他的 Brāhma-sphu ṭ a-siddhānta 的 Chater 12 中给出了加法、减法、乘法和除法的规则，对于正数和负数以及零，其方式与今天任何一本初等算术教科书中可以找到的方式相同，但除以零的定义除外。 他的作品在印度广为人知。 事实上，我们的作者提到的 Bhāskara II 将他的描述建立在 Brahmagupta 的描述之上。 他的作品也在八世纪被翻译成阿拉伯语，并为 al-Khwārimī 的描述提供了基础，该描述没有以阿拉伯语保存下来，但在十二世纪被翻译成拉丁语，即 Dixit Algorizmi ，这是欧洲第一次引入印度-阿拉伯数字系统，正如我们的作者所指出的那样。 然后，我们的作者过分强调了一些欧洲数学家不愿接受零作为一个数字，同时介绍了 Thomas Harriot 的多项式求解方法以及零作为环和域的定义属性。
Sketch No.4 Broken Numbers :Writing Fractions 是对其历史的一个相当不错的描述，考虑到其简洁性。
Sketch No.5 Less than Nothing : Negative Numbers 也是对接受负数存在这一非常棘手的历史的一个相当不错的描述。 有点奇怪的是，在完全忽略了他关于零的主题之后，我们的作者现在声明：
一位著名的印度数学家 Brahmagupta 早在 7 世纪就认识到并在一定程度上使用了负量。 他将正数视为财产，将负数视为债务，并且还说明了使用负数进行加、减、乘和除的规则。
这与他书中处理零作为数字的部分相同！
Sketch No. 6 By Ten and Tenths : Metric Measurement 是对法国引入公制及其随后现代化的一个很好的简短描述。 我会很欣赏对英国博学家 John Wilkins (1614–1672) 的简短致敬，他早在 17 世纪就提倡公制。
Sketch No. 7 Measuring the Circle : The Story of π 一个简单的简短描述。 一个有趣的补充是一个表格，该表格显示了使用不同的 π 历史值计算直径为 1 公里的圆形湖泊周长的误差大小。
Sketch No. 8 The Cossic Art : Writing Algebra with Symbols 是从修辞代数到符号代数逐渐但曲折的过渡的一个合格的草图。
Sketch No. 9 Linear Thinking : Solving First Degree Equations 从埃及人开始提到中国人，但完全忽略了巴比伦人。 然后它漫游到解决方案的错误命题方法的描述中。
Sketch No. 10 A Square and Things : Quadratic Equations 在一维之后，我们进入二维。 这专门讨论了 al- Khwārimī 对求解二次方程方法的讨论，完全忽略了巴比伦人在一千年前就已经拥有二次方程的通解这一事实，尽管其形式与我们教给学童的形式不同，当然也忽略了负解。 更糟糕的是忽略了 Brahmagupta 以我们今天使用的形式包括负解的通解！
Sketch No. 11 Intrigue in Renaissance Italy : Solving Cubic Equations 现在进入三维。 我们从古代 Geek 的三等分角问题开始，然后令人惊讶的是，考虑到这应该是“为刚开始学习该主题的学生”，我们突然得到了一段相当高级的三角学被添加到文本中：
cos(3𝛂) = 4 cos3(𝛂) – 3 cos(𝛂)
指出该解决方案可以使用三次方程找到！
我们继续讨论 Omar Khayyám 及其使用圆锥截面求解三次方程的解决方案。 然后我们得到了 Antonio Fiore/Tartaglia 挑战的一个扭曲版本。 我们的作者声称 Tartaglia 吹嘘他可以求解三次方程，因此 Fiore 从他的老师 Scipione del Ferro 那里学到了解决方案，向他提出了数学竞赛的挑战。 事实上，Tartaglia 在受到 Fiore 挑战时并不知道如何解决这些问题，并且意识到他正在隐藏任何东西，于是坐下来发现了如何解决这些问题。 最终结果是 Tartaglia 获胜。 他们正确地得到了故事的其余部分。 Cardano 如何说服 Tartaglia 透露他的解决方案，并承诺不会在 Tartaglia 之前发布。 然后发现 Scipione del Ferro 在 Tartaglia 之前发现了解决方案，并且扩展了 Tartaglia 的解决方案，无论如何都继续发布，尽管充分赞扬了 Tartaglia 的工作。 您可以在此处阅读整个故事。 然而，我们的作者自相矛盾。 在他们的 Large Nutshell 中，他们给出了故事的一个简短版本并写道：
一旦他知道了 Tartaglia 的求解一些三次方程的方法。 Cardano 能够将其推广为求解任何三次方程的方法。 感觉自己做出了自己的贡献，Cardano 决定他不再受保密承诺的约束。
现在在 Sketch 11 中，他们写道：
此时，Cardano 知道他已经为数学做出了真正的贡献。 但是他如何在不违背诺言的情况下发布它呢？ 他找到了一种方法。 他发现 del Ferro 在 Tartaglia 之前找到了一个关键案例的解决方案。 由于他没有承诺对 del Ferro 的 解决方案保密，因此他觉得可以发布它，即使它与他从 Tartaglia 那里学到的相同。
然后我们得到了 Cardano 对三次方程解中复数共轭对的发现，以及对他对它们的反应的一些混乱的解释。 我们的作者告诉我们 Cardano 写信给 Tartaglia 并询问了这个问题，Tartaglia 只是建议 Cardano 没有理解如何解决这些问题。 这是真的，引用 MacTutor 的话：
Cardan 遇到的第一个问题是，即使答案是一个“正确的”数字，该公式有时也涉及负数的平方根。 1539 年 8 月 4 日，Cardan 写信给 Tartaglia：- 我已经发信询问各种问题的解决方案，您没有给我任何答复，其中一个问题涉及立方等于一个未知数加上一个数字。 我当然已经掌握了这条规则，但是当未知数的三分之一系数的立方在价值上大于数字一半的平方时，那么，看来，我无法将其放入方程中。 事实上，Cardan 在这里精确地给出了该公式涉及负数平方根的条件。 此时，Tartaglia 非常后悔告诉 Cardan 该方法，并试图用他的答复来迷惑他（尽管事实上 Tartaglia，像 Cardan 一样，不会理解现在进入数学的复数）：- …因此，我回复说您没有掌握解决此类问题的真正方法，而且我确实会说您的方法完全是错误的。
我们的作者只是继续说道，It fell to Rafael Bombelli to resolve the issue。”
这是低估了 Cardano，首先，他很清楚，如果将复共轭对相乘，则虚部会消失，正如他在 Ars Magna 中所证明的那样，他只是认为这在数学上没有意义。
消除精神上的折磨，并将 5 + √- 15 乘以 5 – √- 15 ，我们得到 25 –(– 15). 因此，乘积为 40 . …. 到目前为止，算术的精妙之处已经到了，正如我所说，这种精妙之处是极端的，因此毫无用处。 (MacTutor)
其次，Bombelli 使用 Cardano 的作品作为他自己工作的起点。
Sketch No. 12 A Cheerful Fact : The Pythagorean Theorem 这是对所有数学定理中最广为人知的一个定理的一些历史的合理概述。 标题的前半部分是 Gilbert 和 Sullivan 的引言！
Sketch No. 13 A Marvellous Proof : Fermat’s Last Theorem 再次是对所有数学定理中最广为人知的另一个可能候选者历史的合理概要。
Sketch No. 14 On Beauty Bare : Euclid’s Plane Geometry 另一个合理地概述了世界上最著名和最畅销的数学教科书。
Sketch No. 15 In Perfect Shape : The Platonic Solids 对柏拉图正多面体和阿基米德半正多面体历史的简要、紧凑且基本准确的介绍。 我希望能够更详细地了解文艺复兴时期对阿基米德多面体的重新发现，这实际上是由艺术家而不是数学家进行的，我们的作者似乎没有意识到这一事实，这是对当时新的线性透视的探索的一部分。
Sketch No. 16 Shapes by the Numbers : Coordinate Geometry 另一个好的概要，涵盖了 Fermat 和 Descartes，并包括 Cartesian 系统实际上是由 Frans van Schooten jr 组装的扩展拉丁语版本 La Géométrie 推广的重要事实。 虽然我们的作者错过了小辈。 在承认了他的贡献之后，他们错过了他最大的贡献之一。 我们的作者写道：
我们通常归因于 Descarte 的双轴矩形坐标系似乎在他发表 La Géométrie 后的一个半世纪内逐渐演变而来。
矩形 Cartesian 坐标是由 Frans van Schooten jr 在他的拉丁语版本中引入的。
Sketch No. 17 Impossible, Imaginary, Useful : Complex Numbers 在他们讨论三次方程时，未能承认 Cardano 实际上展示了如何在 Ars Magna 中消除复共轭对的事实，即使这样做冒犯了他对数学的感情，我们的作者现在带来了有关此效果的相关引言。 在以 Cardano 开头之后，我们继续接受 Bombelli 并拒绝 Descartes，然后我们的作者将 Abraham De Moivre 的工作中隐含地预测了 Euler 公式，而忽略了 Roger Cotes 的工作中的显式公式。 在比较广泛地处理 Euler 之后，我们的作者继续讨论 Argand 和 Gauss 以及复数的几何表示，同时完全忽略了 Casper Wessel。
Sketch No. 18 Half is Better : Sine and Cosine 现在我们介绍了三角学的历史。 再次是对十七世纪历史要点的一个合理简短的介绍，以及关于三角比作为函数的发展的一个过于简短的评论。
Sketch No. 19 Strange New Worlds : The Non-Euclidian Geometries 再次没有任何可批评的地方。
Sketch No. 20 In the Eye of the Beholder : Projective Geometry 从文艺复兴时期对线性透视的发现的一些简要评论开始，然后继续发展出自此的射影几何，并以 Pascal 定理结尾。 再次，我没有任何抱怨。
Sketch No. 21 What’s in a Game? : The Start of Probability Theory 在让青少年 Pascal 参与圆锥曲线之后，我们现在让成熟的 Pascal 参与分割中断的机会游戏中股份。 接下来是概率论演变的标准故事。
Sketch No. 22 Making Sense of Data : Statistics Becomes a Science 再次，呈现了一个标准的描述，没有任何重大错误。
Sketch No. 23 Machines that Think? : Electronic Computers 在仅偶尔出现历史错误的情况下提出了 22 个草图之后，我们的作者现在完全脱轨了：首先：
有些人会说，这个故事始于 5000 年前，算盘是一种珠子和杆的计算设备，至今仍在使用。
希腊术语算盘是指算盘。 珠子和杆的计算设备，也称为算盘，是在亚洲开发的，直到十七世纪末十八世纪初才通过俄罗斯传入欧洲，远在欧洲停止使用算盘之后。
我们没有提到星盘，星盘被普遍描述为模拟计算机，
然后我们得到 Napier 的 Bones 和 Oughtred 的对数滑尺作为计算设备，暗示它们以某种方式相关。 它们不是，对数滑尺基于对数，尽管 Napier 发明了对数，但他的 Bones 不是。
接下来是 Pascaline ，正确地引用了它们难以制造因此是一次失败的信息，尽管他们没有那么直率地表达。 没有提到 Wilhelm Schickard，他的计算器比 Pascaline 更早。 当然，如果我们有 Pascal 的计算器，那么我们必须有 Leibniz 的计算器，我们得到了以下锤子语句：
Leibniz 的机器，Stepped Reckoner ，代表了对 Pascaline 的一个重大的理论进步，因为 它的计算是以二进制（以 2 为基数）算术完成的（我的重点），这是所有现代计算机架构的基础。
当我读到这篇文章时，我真正感到困惑。 有三种可能性，要么我们的作者正在使用关于计算机器历史的真正糟糕的资料来源，要么他们只是在胡编乱造，要么他们创造了一个真正糟糕的三段论论点。
- Leibniz 是最早开发二进制算术的欧洲数学家之一
- Leibniz 创建了一个计算机器 因此：Leibniz 的计算机器必须使用二进制算术
当然，结论并非来自前提，并且 Leibniz 的 Stepped Reckoner 使用十进制而不是二进制数字。
第四种可能性是一个真正灾难性的错字，但我们的作者在下一个草图的开头重复了该说法，即肯定不是这种情况。
我们通过对 19 世纪成功的分级计算器的描述获得了一个短暂的喘息机会，然后我们继续讨论 Charles Babbage 和一场彻底的火车失事。 我们的作者告诉我们：
19 世纪初，剑桥大学数学教授 Charles Babbage 开始研究一种用于生成准确的对数和天文表的机器。
[…]
到 1822 年，Babbage 实际上在一台他称之为 Difference Engine 的小型机器上以六位数的精度输出了表格。
我认为我们的作者生活在一个另类宇宙中，只有这样才能解释 Babbage 如何在一台从未制造过的机器上“以六位数的精度输出表格”！ 他们似乎混淆了他制作的用于演示引擎运行原理的小型工作模型和从未建造过的完整引擎。 他们甚至包括一张贴有标签的小型工作模型的照片，Babbage 的 Difference Engine。
1832 年，Babbage 和 Joseph Clement 制作了一个小型工作模型（计划的七分之一），该模型通过二阶差分对 6 位数字进行运算。 Byron 女士描述了她在 1833 年看到工作原型的情景：“我们上周一都去看了思维机器（或者看起来是这样）。 它将几个数字提升到 2 次方和 3 次方，并提取了二次方程的根。” 1833 年暂停了对更大引擎的工作。 (Wikipedia)
1822 年是 Babbage 开始研究 Difference Engine 的日期。 至于小：
这第一个差分引擎将由大约 25,000 个零件组成，重达 15 短吨（13,600 千克），高 8 英尺（2.4 米）。 (Wikipedia)
不完全是台式电脑。
我们的作者继续进行非历史幻想：
1801 年，Joseph-Marie Jacquard 设计了一种织布机，该织布机通过一系列带有孔的卡片引导编织复杂的图案。 它在生产“预编程”图案方面的成功使 Babbage 尝试制造一种可以从穿孔卡片接受指令和数据的计算机器。 他将拟议的设备称为 Analytical Engine。
1801 年，Jacquard 在 Exposition des produits de l’industrie française 上展示了一个较早的织布机，并获得了铜牌。 他于 1804 年开始开发穿孔卡片织布机。 关于 Babbage 的说法确实是在本末倒置。 在他的妻子于 1827 年去世后，Babbage 在整个欧洲大陆进行了长时间的旅行，研究和研究各种工业工厂，以研究和分析它们对机械化和自动化的利用。 他在 1820 年代已经在英国做过类似的事情。 他于 1832 年在他的 On the Economy of Machinery and Manufactures 中发表了这项研究的结果。 用我自己的话说，“可以肯定地说，到 1832 年，Babbage 比地球上几乎任何人都更了解机械化和自动化以及它能够做什么以及哪些活动可以机械化和/或自动化。 在这种情况下，Babbage 决定将他的主要兴趣从差分引擎转移到开发分析引擎的概念，该引擎从一开始就被设想为一种通用计算机，能够完成此类机器可以完成的一切，远远超过了超级数字运算器。” Jacquard 织布机只是他在他的奥德赛上研究的机器之一，他将穿孔卡片编程的概念融入了他的新计算机的计划中。
当然，我们的作者无法拒绝重复 Ada Lovelace 神话和圣徒传记：
Babbage 在这项工作中的助手是 Augusta Ada Lovelace […] Lovelace 翻译、澄清和扩展了 Babbage 项目的法语描述，添加了大量原始评论。 她扩展了使用穿孔卡片指令“编程”机器的想法，并编写了被认为是第一个重要的计算机程序……
Ada 绝不是 Babbage 的助手。 添加到 Babbage 项目的法语描述中的注释是与 Babbage 共同编写的。 它们没有扩展使用穿孔卡片指令“编程”机器的想法。 注释 G 中包含的计算机程序是由 Babbage 而不是 Lovelace 编写的，并不是第一个重要的计算机程序。 Babbage 已经在 Lovelace 翻译之前编写了几个。
Babbage 在他的自传 Passages from the Life of a Philosopher (Longmans, 1864) 中
我们现在转向 George Boole 和 Boolean 代数逻辑的出现，这被极其简要地处理，但包含以下相当奇怪的评论：
虽然据报道 Boole 认为他的系统永远不会有任何实际应用……
我在大学里花了几年时间研究 George Boole 的生活和工作，从未遇到过任何此类说法。 事实上，Boole 本人在 Laws of Thought 中将他的逻辑代数应用于概率论，正如其完整标题 An Investigation of the Laws of Thought: on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities 中清楚说明的那样。
在对 Herman Hollerith 使用穿孔卡片加速 1880 年美国人口普查的计数进行非常简要的描述之后，我们大大地跳到了 Claude Shannon。
这些片段在 1937 年开始组合在一起，当时 Claude Shannon 在他在 M.I.T. 的硕士论文中，将 Boolean 代数与电继电器和开关电路相结合，以展示机器如何“进行”数学逻辑。
我们没有提到 Shannon 正在 Vannevar Bush 的差分分析器的电路上工作这一事实，差分分析器是一台模拟计算机。 差分分析器在计算机历史上发挥了非常重要的作用，因为所有三台美国战时计算机，ABC、Harvard Mark I 和 ENIAC，我们作者都提到了它们，这些项目都是为了创建差分分析器的改进版本而启动的。
我们继续讨论二战：
Alan Turing 是一位数学家，他带头成功地尝试破解了德国 U 型潜艇指挥部的所谓“Enigma 密码”，设计了几台电子机器来帮助进行密码分析。
Turing 设计了一台基于现有波兰 Bomba 的 Bombe 机器，他的设计由 Gordon Welchman 改进，该机器实际上由 Harold Keen 设计和建造。 我们对 Max Newman、Tommy Flowers 和 Colossus 进行了一个简短但不完全准确的描述，然后我们转向德国和 Konrad Zuse。 我们的作者告诉我们：
与此同时，在德国，Konrad Zuse 也建造了一台可编程电子计算机。 他的工作始于 1930 年代后期，并在 1940 年代初导致了一台功能正常的机电机器，这使他在历史上对电子计算机的发明提出了一些主张。
这包含一个中心矛盾，机电计算机不是电子计算机。 此外，我们有一个精确的时间线来描述 Zuse 计算机的开发。 他的 Z1 纯机械计算机于 1938 年完成，他的 Z2 机电计算机于 1939 年完成。 我们的作者正在谈论的 Z3 也是一台机电计算机，是 Z2 的改进版，于 1941 年完成。 我们的作者错误地声称 Leibniz 的陡峭的计算器使用二进制算术，但不认为有必要指出 Zuse 是第一个在他的计算机（从 Z1 开始）中使用二进制而不是十进制的人。 他们还声明：
然而，战时保密也使他的工作不为人知。
Zuse 已经在战争期间成立了他的计算机公司，并在战后立即投入开发和生产。 尽管他无法完成 1944 年开始建造的 Z4，直到 1949 年，才在 1950 年将成品交付给苏黎世联邦理工学院。
Z4 可以说是世界上第一台商用数字计算机，也是现存最古老的可编程计算机。 (Wikipedia)。
我们的作者现在对 ABC、Harvard Mark I 和 ENIAC 进行了令人惊讶的简短描述，然后交付了 John von Neumann 神话。
John von Neuman 通常被认为发明了一种将程序存储在计算机中的方法。
所讨论的存储程序计算机是 John Mauchly 和 J. Presper Eckert（ENIAC 的发明者）发明的 EDVAC。 Von Neuman 只是在他的 First Draft of a Report on the EDVAC 中描述了他们的设计，没有提及出处，从而窃取了功劳。
该草图以对第一批存储程序计算机、英国的 EDSAC 和美国的 UNIVAC I、第一批晶体管以及集成电路的快速推进结束。
有很多关于计算机发展的良好、详细的历史，我简直不明白我们的作者怎么会犯这么多错误。
Sketch No. 24 The Arithmetic of Reasoning : Boolean Algebra 简单地提到了亚里士多德的逻辑，然后再次虚假地声称 Leibniz 的陡峭的计算器使用二进制数字，这导致我们进入 Leibniz 尝试创建逻辑微积分，但我们的作者承认它一直未发表且不为人知直到 20 世纪。 所有这一切仅仅是 Augustus De Morgan 和 George Boole 的前奏。 我们得到了对他们两人的简短而可悲的传记，强调了他们生活中的挣扎。 这导致了 Boole 逻辑的呈现，以直到很久以后才存在的真值表的形式呈现！ 然后我们得到了一个非同寻常的非历史性陈述：
De Morgan 也是逻辑代数处理的有影响力、有说服力的支持者。 他的出版物有助于完善、扩展和普及 Boole 开始的系统。
De Morgan 是 Boole 工作的直言不讳的支持者，但他的出版物并没有帮助完善、扩展和普及 Boole 开始的系统。 然而，我们确实得到了 De Morgan 定律和他的关系逻辑。 后者让我们的作者有机会滔滔不绝地谈论 Charles Saunders Pierce。
在这个非常简短的草图的结尾，我们得到了以下内容，“但这是 Boole、De Morgan、C. S. Pierce 和其他人的工作……（我的重点）”这个“和其他人”涵盖了大量的遗漏，可能最重要的是 William Stanley Jevons (1835–1882) 的工作。 一个经常重复的真理是 Boole 的代数逻辑不是 Boolean 代数！ 首先是 Jevons，他对 Boole 系统进行了修改，将其变成了当今计算机使用的 Boolean 代数。
Sketch No. 25 Beyond Counting : Infinity and the Theory of Sets 进入舞台右侧 George Cantor。 我们得到了对 Cantorian 集合论、Kronecker 的反对意见和集合论悖论问题的合理介绍。 然后，我们对 19 世纪的新托马斯主义、形而上学、无限集和上帝的思想进行了长时间的偏离。 对不起，但这在数学史的非常简短、据称是基本的介绍中没有地位，“专为刚开始学习该学科的学生而设计。”
Sketch No. 26 Out of the Shadows : The Tangent Function 是对逐渐将正切函数纳入三角学规范的合理描述。 我唯一的批评是，尽管他们正确地指出 Regiomontanus 在他写于 1467 年的 Tabulae directionum profectionumque 中引入了正切函数。 我们的作者只给出了标题的前两个词，并将其翻译为 Table of Directions。 这并非不正确，但如果这样留下来，可能会导致误解。 这里的 Directions 不是指地理上找到方向，而是指占星术中使用的一种方法，该方法从出生星盘中确定主题生命中的主要事件，包括死亡。 这需要复杂的球形三角学计算，将点从一个天体坐标系转移到另一个天体坐标系。 因此需要正切。
Sketch No. 27 Counting Ratios : Logarithms 对对数发明历史的详细介绍。 总的来说，还可以，但 Jost Bürgi 的故事有点偏离轨道。
当 Napier 和 Briggs 在苏格兰工作时，三十年战争正在欧洲大陆上蔓延痛苦。 其中一个副作用是瑞士钟表匠 Joost Bürgi 在 1620 年出版的大部分副本丢失了。 Bürgi 在 1588 年协助天文学家 Johannes Kepler 在布拉格工作时发现了对数的基本原理，比 Napier 早几年，但他的表格书直到 Napier 的 Descriptio 出现六年之后才出版。 当大多数副本消失时，Bürgi 的作品逐渐默默无闻。
Bürgi 的作品未能产生影响几乎肯定与以下事实有关：只有极少数被印刷过，而且它只包含我们现在称为反对数的表格，没有解释它们是如何创建的或如何使用它们。 此外，1588 年 Kepler 仍在 Graz 生活和工作，而 Bürgi 在 Kassel 生活和工作。 Kepler 于 1600 年首次搬到布拉格，Bürgi 于 1604 年搬到布拉格。 Bürgi 作品中对 1588 年的提及几乎肯定是指 prosthaphaeresis，一种使用三角公式将困难的乘法和除法转换为加法和减法的方法，Bürgi 从 Paul Wittich 那里学到了这种方法，而不是对数。 他在对数方面的工作几乎肯定比 Napier 的工作晚，但却是独立的。 有趣的是，人们认为 Napier 在 John Craig 的教导下学习了 prosthaphaeresis 后才接触到对数，John Craig 也从 Wittich 那里学到了它
Sketch No. 28 Anyway You Slice It : Conic Sections 实际上是一个关于圆锥截面历史的相当好的部分，但被一个小的错误和一个关于 Kepler 的集群搞砸了。 小错误涉及 Witelo（约 1230 年 - 1280 年之后），我们的作者写道：
有一些证据表明，远在 113 世纪，欧洲就知道 Apollonius 的 Conics，当时 Erazmus Witelo 在他的光学和透视书中使用了圆锥曲线。
Witelo 的书名为 De Perspectiva ，纯粹是一本关于光学的书，而不是透视。 透视光学是从 Ibn al