差点就不是现在的 Pi 了
Pi 差点就不是现在的 Pi 了
既然你在阅读这篇文章，你可能已经知道名为 Pi Day 的数学节日了，它在每年的3月14日举行，以纪念神秘的量 π = 3.14…。Pi 不仅仅是一个普遍常数；它还是一个跨宇宙的常数，即使在几何结构与我们不同的另一个宇宙中，那些想知道1 sqrt(1– x 2) 从 x = –1 到 x = 1 的积分的有意识的生命，仍然会得到——嗯，不是 3.14…，而是它的一半，也就是 1.57…。这里就存在一个关于 pi 的普遍性的问题：为什么 3.14… 应该被认为比 1.57… 或其他自然产生的2 与 pi 相关的量更根本呢？
我怀疑，即使我们只关注我们自己宇宙中那些将一年分成类似于月，并将一个月分成类似于日的行星上的智慧生物，其中许多世界也不会在第三个月的第十四天庆祝数字 pi。这不仅仅是因为 3.14 是对 pi 的非常以十进制为中心的近似值（有什么理由认为智慧生物倾向于有正好十个手指、触手、伪足或其他什么东西吗？）。这也不仅仅是因为将 “3” 解释为月份计数，将 “14” 解释为日期计数有点牵强。这也不仅仅是因为举办一个节日来庆祝一个数字本身就是一件奇怪的事情。还因为在我们自己的世界里，我们差点就让 pi 的另一个倍数成为我们测量直线事物和测量圆形事物之间的基本桥梁。
成为一个数字
Pi 有时被称为阿基米德常数3，因为阿基米德是第一个描述以任何期望的近似程度估计 pi 的过程的数学家。阿基米德应用他的方法来证明 pi 介于 223/71 和 22/7 之间。顺便说一句，阿基米德并不认为 22/7、223/71 或 pi 是数字；对他来说，它们是量级的比率，其中最后一个必须以几何方式而不是数字方式处理。4 但关键是阿基米德没有做的事情：他没有证明 pi 介于 314/100 和 315/100 之间（对应于现代的断言 3.14 < π < 3.15），或者介于任何其他以 10 的幂为分母的分数对之间。他没有理由这样做；十进制系统，以及其对 10 的幂的内置固定，在遥远的未来。
在阿基米德之后的两千年，Simon Stevin 的手册 De Thiende (《小数》) 和 L’Arithmétique (《算术》) 于 1585 年出版，将欧洲带入了十进制时代。Stevin 明确地放弃了数字和比率之间的旧区别，强调地（尽管有些模糊地）宣称 “没有不包含在数字中的数字。” 在 Stevin 的系统中，整数、分数和无理数都可以坐在同一张桌子上，并通过它们的十进制表示形式参与算术运算。
Stevin 没有专门讨论 pi，但他的框架鼓励数学家将 pi 视为一个数字。其中一位数学家是 Ludolph van Ceulen，他花了数十年时间应用阿基米德的方法来分析具有大量边的多边形，在他去世前获得了 pi 的 35 位十进制数字。在 van Ceulen 于 1610 年去世后，他计算出的数字被刻在他的墓碑上，pi 在德国和荷兰的一些地方被称为“Ludolph 数”。5
所以现在 3.14… 被公认为是一个真正的数字。（最初我打算写一篇名为 “The Velveteen Ratio; or, How Numbers Become Real” 的博文，但这必须等到其他时候了。）
错误的数字？
是的，3.14… 最终是一个数字，但它是要关注的正确数字吗？
William Oughtred 在他 1631 年的作品 Clavis Mathematicae (《数学之钥》) 中使用了符号 “ π /δ ”，其中 π 是圆的周长，δ 是它的直径；该商是我们的朋友 3.14…。另一方面，James Gregory 在他自己的 1668 年的书 Geometriae Pars Universalis (《几何学的通用部分》) 中，专注于 “ π /ρ ”，其中 ρ 是圆的半径；该商是 3.14… 的两倍，即 6.28…。尽管这两位数学家关注的是两个不同的比率，但对于 Oughtred 和 Gregory 来说，“ π ” 并不表示一个数字；它表示任意大小的圆的周长。（我从 Jeff Miller 的文档 Earliest Uses of Symbols for Constants 中获得了本节的大部分信息。）
1671 年，Gregory 继续推导出一个公式6，用于表示现代 pi 常数的四分之一：1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …。这个公式意味着 pi 本身是 4 − 4/3 + 4/5 − 4/7 + …。我不知道你是否同意，但我发现 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … 比 4 − 4/3 + 4/5 − 4/7 + … 漂亮得多。也许 Gregory 也有同感，也许他甚至时不时地想知道 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …，也就是 .79…，是否可能是圆的真正基本的数值特征。
1706 年，William Jones 在他的 Synopsis Palmariorum Matheseos (后来以英文出版，名为 A New Introduction to the Mathematics) 中，追随了 Oughtred 的脚步，但带有一个符号上的转折：他建议 “ π ” 应该表示的不是圆的周长，而是周长与直径的比率。
18 世纪最伟大的数学家 Leonhard Euler，在采用 “ π ” 作为无量纲常数方面追随了 Jones，但他花了一些时间才弄清楚它应该是哪个常数。1729 年，他使用 “ π ” 来表示数字 6.28…（使用符号 “ p ” 来表示 3.14…）。在 1730 年代后期，Euler 切换为使用 “ π ” 表示 3.14…，但在 1747 年，他又切换回使用 “ π ” 表示 6.28… 。在此过程中，他将圆的面积公式写成 “ A = C r / 2”，而不是 “ A = πr 2”，从而避免了使用符号 “ π ”。然后在 1748 年，在他极具影响力的 Introductio in analysin infinitorum (《无穷小分析引论》) 中，他再次切换为使用 “ π ” 来表示 3.14…（并使用 “ ∆ ” 来表示 6.28…），并且他再也没有回头。
世界接受了 Euler（最终）的选择，并且从此以后一直使用 “ π ” 来表示 3.14…。
所以 Jones 的约定胜出了。但它应该胜出吗？以下是根据 ChatGPT，涉及 π 的十个最广泛使用的数学公式：
在这些公式中，(1)、(3)、(4)、(6) 和 (7) 用 2 π 表示时会更简单，而 (2)、(5)、(8)、(9) 和 (10) 用 π 表示时会更简单。我认为这算是不分胜负。
该列表中缺少一个非常重要的涉及 pi 的公式，它不是一个等式而是一个近似值：
这个公式由 James Stirling 在 1730 年代提出，他用口头而不是符号表达了这个公式，包括表示 “半径为 1 的圆的周长” 的拉丁语，也就是说，用现代术语来说，是 2 π。所以 Stirling 可能也会更喜欢 6.28… 而不是 3.14…。
那么发生了什么？
为什么 Euler 改变了立场？我们无法问他，但很自然地认为他想遵循先例。阿基米德并不是唯一一个关注 3.14… 而不是 6.28… 的古代人。许多文明都研究过圆，并找到了计算其周长的近似方法，但据我所知，他们中没有一个人关注周长与半径的比率。这可能是出于实际考虑：如果你手里拿着一个圆盘，或者试图测量一块圆形土地，那么准确估计直径比准确估计半径更容易（除了通过估计直径然后除以二）。而且阿基米德是一个务实的人，他不仅是一位数学家，还是一位工程师。
另一方面，阿基米德是一位希腊数学家，追随欧几里得的传统，而这种传统对构造的重视程度几乎与对证明的重视程度相同。希腊人对圆的定义是根据其半径——这是有道理的，因为经典的希腊人构造圆的方法是通过圆规。因此，如果阿基米德在研究圆时感觉更像欧几里得的门徒，他可能会倾向于根据圆的半径而不是直径来测量圆的周长。然后我们很可能已经采用了 6.28… 作为圆常数，甚至采用了希腊字母 “ π ” 来表示它。
近年来，有人建议，如果我们一开始就采用 2 π 作为基本量，数学会更简单。这个建议最初由 Bob Palais 在他的文章 π is Wrong! 中提出，之后其他人也提出了采用希腊字母 tau 来表示 6.28…：参见 Michael Hartl 的 Tau Manifesto。正如我在上面发现的，大约一半涉及 pi 的最常见公式在用 tau 表示时会更简单。没有人期望 τ 会战胜 π ，但它的倡导者有一种你经常在无关紧要的失败事业的支持者中发现的乐观情绪。7 Tau Day 在每年的 6 月 28 日庆祝，但这个日期介于大多数学年结束和大多数数学训练营开始之间，因此这个新兴的节日很难获得吸引力。
我自己有两个适度的建议。一个是，虽然我们继续接受 3.14… 作为 “正确的” pi，但我们应该庆祝 Good-Enough Pi Day，以纪念近似值 3.1，这对于大多数目的来说都足够接近了。它可以在每个月的 3 月 1 日庆祝，这一天正好与地球绕太阳运行的近日点重合，也可以在 1 月 3 日庆祝，这一天正好与地球经过近日点后已经移动了一个弧度的日子重合。好吧，我稍微修改了一下这些日期，但只修改了一两天。这些天文巧合能否推动我们走向 Good-Enough Pi Day？
但一个更重要的 pi 的近似值是数字 3，它值得广泛赞扬。毕竟，3 是圣经对 pi 的近似值——这一情况导致一位 Beauregard G. Bogusian 教授断言，圆的周长恰好等于其直径的三倍，并且任何看似不等的偏差都是由于人类的堕落状态，如他的视频 The Truth About Pi 中所述。3 也是 pi 真正跨宇宙的近似值，不受任何特定基数的选择的约束，因此可能会吸引具有任意数量附属肢体的生物。作为庆祝 π ≈ 3 的一种方式，我建议将每天的第三次用餐此后称为 Pi Meal，并且我们应该在每次用餐时通过食用 3 片馅饼来纪念数字 3。如果我们始终如一地执行这一仪式，我们将在时间的过程中将圆的神奇圆度近似到任何期望的近似程度。
尾注
#1. 当然，有人可能会争辩说，在一个截然不同的宇宙中，没有人会发明积分甚至平方根，更不用说试图评估该积分了。很难反驳这种观点，但也很难在任何试图进行逻辑推理的尝试都可以用 “是的，这只是合乎逻辑的，但如果逻辑规则本身在那里不同呢？” 来反驳的对话中获得乐趣。 #2. 1.57… 的粉丝不如 3.14… 和 6.28… 多，但确实存在粉丝。其中一位是 K. W. Regan，他回应 Lance Fortnow 和 Bill Gasarch 的 关于为什么 6.28… 比 3.14… 更好的理由的博文，写道：“我同意 ‘pi’ 的 ‘真正’ 值相差 2 倍——但方向相反！” 我同情 1.57… 的粉丝。首先，1.57… 是普遍存在的烦恼系数，它衡量了当您面前有一个圆形障碍物时，您必须走多远才能绕过它而不是穿过它。 #3. 试图近似 pi 的尝试早于阿基米德，因此该术语有点用词不当，您可能会猜测是欧洲的希腊爱好者引入了这个术语，但您错了：“阿基米德常数” 这个术语是 20 世纪初日本的希腊爱好者引入的。 #4. 观点的差异很微妙，现代读者可能很难理解，因为它需要取消学习我们从小就被灌输的关于数字和测量的熟悉思维方式。我在上个月的文章 Dedekind’s Subtle Knife 中更详细地解释了希腊的比例理论。 #5. 另一个使用的术语是 “van Ceulen 数”，尽管这有时表示 van Ceulen 对 pi 的近似值，而不是 pi 本身。 #6. Gregory 的公式在两年后被 Gottfried Wilhelm Leibniz 独立发现。他们都不知道，这个公式早在两个多世纪前就被 Sangamagrama 的 Madhava 发现了。这三位数学家都以相同的方式推导出了该公式：通过找到函数 arctan x 的幂级数展开并将 x = 1 代入。时至今日，当我想知道 π 的前十几个数字时，我经常在 UNIX 程序 bc 中输入 “4*a(1)”，导致我的笔记本电脑计算 4 乘以 1 的反正切。有关 pi 和 bc 的更多信息，请参见 John D. Cook 的文章 Computing pi with bc。 #7. 我理解这种宿命论的党派偏见；我曾经是 Red Sox 的球迷，直到他们真正赢得世界大赛，成为 Red Sox 的球迷失去了很多吸引力。