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‘Once in a Century’ Proof Settles Math’s Kakeya Conjecture

作者： Joseph Howlett 2025年3月14日

这个看似简单的 Kakeya Conjecture 困扰了数学家们 50 年。一项针对三维空间中该猜想的新证明，为一系列相关问题带来了曙光。

By Joseph Howlett Staff Writer 2025年3月14日

引言

想象一支铅笔放在你的桌子上。试着旋转它，使其指向每个方向，但要确保它扫过的桌面表面尽可能小。你可能会让铅笔绕着它的中心旋转，从而画出一个圆。但如果你巧妙地滑动它，你可以做得更好。

“这只是一个关于直线如何相互交叉的问题，”爱丁堡大学的数学家 Jonathan Hickman (opens a new tab) 说。“但其中蕴含着令人难以置信的丰富性——与其它问题之间存在着一系列令人难以置信的联系。”

五十年来，数学家们一直在寻找解决这个挑战的三维版本的最佳方案：将一支铅笔悬在空中，然后将其指向每个方向，同时尽量减少它移动所经过的空间体积。这个简单的问题一直困扰着一些最伟大的在世数学家，并且潜藏在一系列未解决的问题之下。

现在，寻找解决方案的努力似乎已经结束。在最近发表在科学预印本网站 arxiv.org 上的一篇论文中，纽约大学柯朗研究所的 Hong Wang (opens a new tab) 和不列颠哥伦比亚大学的 Joshua Zahl (opens a new tab) 证明了三维 Kakeya Conjecture (opens a new tab)——他们确定了这种运动模式可能有多小的绝对极限。

莱斯大学的数学家 Nets Katz (opens a new tab) 说：“这件事不需要炒作。这是一种百年一遇的结果。”

情节逐渐加深

1917 年，Sōichi Kakeya 提出了这个问题，但使用的是无限细的铅笔。他找到了一种滑动铅笔的方法，该方法覆盖的面积小于本能的圆形运动。

Kakeya 想知道铅笔可能扫过的最小面积是多少。两年后，俄罗斯数学家 Abram Besicovitch 找到了答案：一组复杂的狭窄转弯，与直觉相反，它根本不覆盖任何空间。

这个问题或多或少得到了解决，直到 1971 年，Charles Fefferman (opens a new tab) 在研究一些表面上与旋转线无关的东西：傅里叶变换，这是一种基础数学工具，可以让您将任何数学函数重新想象为波的组合。在 Fefferman 的工作中，Kakeya 问题的一个经过调整的版本不断出现。在这种情况下，铅笔具有厚度，并在三个维度上旋转。在这里，Kakeya 的问题变成了以下问题：当您更改铅笔的宽度时，它如何影响它追踪的空间体积？

数学家更喜欢以一种稍微不同的（但等效的）方式来描绘这个问题。与其在空间中移动铅笔，不如想象铅笔轨迹中的每个位置，一次性完成。你得到的是一种幽灵般的、重叠的管子指向各个方向的配置，称为 Kakeya Set。你可以滑动管子，但不能旋转它们。你的目标是形成一种具有最大重叠的配置。

纽约大学柯朗研究所的数学家 Hong Wang 表示，这项证明将为数学开辟新的前景。“有必要这样做，”她说。 Rickinasia/Wikimedia Commons

Fefferman 发现，即使是重叠最多的 Kakeya Set 也必须占据一些空间。该最小体积取决于管子的厚度。数学家使用一个称为 Minkowski dimension 的数字来量化管子厚度与集合体积之间的关系。Minkowski dimension 越小，通过稍微减薄管子，您可以减少集合的体积越多。

三维 Kakeya Conjecture 表示集合的 Minkowski dimension 必须为三。这构成了一种非常微弱的关系——例如，如果将管子的厚度减半，最多只会移除一小部分体积。

然而，即使是这种温和的约束也被证明几乎不可能证明。

小步快跑

在现代 Kakeya Conjecture 提出五十年后的 2022 年，Wang 和 Zahl 迈出了 重要一步。按照 Katz 和 Terence Tao (opens a new tab) 在 2014 年提出的计划，他们检查了一类令人讨厌的 Kakeya Set。他们的证明表明，该特定类别中的每个集合的维度均为三。（该证明适用于 Minkowski dimension 和一个密切相关的概念，称为 Hausdorff dimension。）在排除了那个烦人的群体之后，他们现在必须证明所有其它 Kakeya Set 的维度均为三。

Sōichi Kakeya 在 1917 年提出了这个问题，当时他 31 岁，这个问题将以他的名字命名。 东京大学提供

他们的方法是逐步进行。他们首先会检查一个狭窄范围的 Minkowski dimension——例如，2.5 到 2.6——并尝试证明没有 Kakeya Set 可以在该范围内。如果他们能够证明这一点适用于高达三的每个区间，他们将证明 Kakeya Conjecture。

幸运的是，Wang 和 Zahl 不必从零开始。Tom Wolff 在 1995 年证明，没有三维 Kakeya Set 的 Hausdorff dimension 或 Minkowski dimension 低于 2.5。但他们需要一种方法来证明 2.5 到 2.500001 之间的维度也是不可能的。然后他们可以重复该论点以获得 2.500002 的界限，依此类推。每次，他们基本上都会表明在该微小增量内不存在 Kakeya Set。

在实践中，他们实际上不必乏味地逐一证明数百万个增量。他们只需要证明第一个增量，只要他们能够证明一个界限意味着下一个稍微大一点的界限即可。然后他们必须证明他们的论点无论从哪里开始都有效。这将足以证明该界限可以一直走到三。

但与 2022 年他们使用 Katz 和 Tao 的策略不同，他们没有路线图可循。他们转向了一种称为 graininess 的特殊属性。

2014 年，麻省理工学院的数学家 Larry Guth (opens a new tab) 证明，Kakeya Conjecture 的任何反例都需要是“粒状的”。在粒状集合中，有许多小的 3D 区域，其中许多管子重叠。每个这些“颗粒”大约一个管子厚，并且宽几倍，但没有那么长，许多管子纵向穿过它。

Wang 和 Zahl 意识到他们可以完全避开管子，而处理这些更简单的颗粒。他们发现枚举和计算颗粒可能重叠的各种方式更容易。

不列颠哥伦比亚大学的数学家 Joshua Zahl 是新证明的合著者。 Paul Joseph

他们发现，即使在颗粒都共谋以提供最大重叠的情况下，与任何给定点相交的颗粒数量也不能太大。从 2.5 的界限开始，他们能够证明颗粒不能重叠到足以导致略高于该界限的维度的程度。然后，从更高的界限开始，他们表明相同的计算步骤可以应用于将界限推得更高。依此类推。

“这就像完善一台永动机。这很神奇，”Tao 说。“他们从输出中获得的比从输入中获得的更多。”他们的机器将他们一直带到三的 Minkowski (和 Hausdorff) dimension，从而证明了三维 Kakeya Conjecture。

梦想之塔

该猜想的解决对于调和分析领域来说是一次地震式的转变，该领域研究傅里叶变换的细节。

调和分析中的三座纪念性猜想之塔 建立在 Kakeya Conjecture 之上。塔中的每一层都需要坚固，上面的层才能有机会站稳脚跟。如果 Kakeya Conjecture 被证明是错误的——如果 Wang 和 Zahl 找到了反例——那么整个塔就会倒塌。

但现在他们已经证明了这一点，数学家们也许能够逐步登上这座塔，利用 Kakeya 构建对这些连续更雄心勃勃的猜想的证明。“[数学家]梦想着有一天解决的所有这些问题，现在看起来都触手可及，”Guth 说。

这个过程已经开始。Wang 最近与人合着了一篇单独的论文，将塔中的下一个猜想简化为更强大的 Kakeya Conjecture 版本，这是弥合这两个级别之间差距的一步。

对于这个在 2D 中有点停滞不前的整个数学领域来说，这也是一个维度的飞跃。“人们非常了解 [Kakeya 邻近问题] 在二维空间中发生的事情，但我们缺乏研究更高维度的工具，”Wang 说。“所以我感觉这是必要的。有必要这样做。”

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四维 Kakeya Conjecture 仍然是未解决的，其上方还有一座四维猜想之塔。Guth 说，新的困难将会出现，但他认为从二维到三维的飞跃是最困难的，并且 Wang 和 Zahl 的证明很可能可以适应于该塔及其他领域。

“当我年轻时对 Kakeya 问题感到兴奋时，它给人的感觉是如此简单和几何，以至于令我惊讶的是它很难，”Guth 说。多年后，他的博士生 Wang 也被同样的具有欺骗性的简单性所激励。

“你可以可视化这些具体的东西。它不像其它数学理论那样可怕，”Wang 说。“我只是想了解为什么它这么难。”

现在，感谢 Wang 和 Zahl 的努力，这种理解比以往任何时候都更接近了。“我真的认为这里有大量的想法可以真正彻底改变整个领域，”Hickman 说。“这是一个非常非常激动人心的时刻。”

更正：2025 年 3 月 14 日 本故事的原始版本指出，Robert Fefferman 的工作导致了现代 Kakeya Conjecture。事实上，是他弟弟 Charles 的作品。

By Joseph Howlett Staff Writer 2025年3月14日