FTGT 引理

作者：Susam Pal，发布于 2025 年 3 月 9 日

简介

本文阐述了用于证明 Galois 理论基本定理 (FTGT) 的一个关键引理。请注意，本文不涉及 FTGT 本身，重点仅在于理解和证明此引理。以下是 Stewart (2023) 所著的 Galois Theory 第 5 版中的引理：

引理 12.1. 假设 L/K 是一个域扩张，M 是一个中间域，τ 是 L 的一个 K-自同构。那么 τM∗τ−1=τ(M)∗。

其中 M∗ 表示 L 的所有 M-自同构的群，群运算为复合。请注意，Stewart 在陈述引理时写作 τ(M)∗=τM∗τ−1，但我颠倒了 LHS 和 RHS 的顺序，以与下面讨论中出现的等式保持一致。

为了建立对这个引理的直观理解，我将首先给出一个例子，然后给出证明。以下讨论假定读者熟悉域扩张和域自同构，因为这些领域的几个符号和结果将被隐式使用，而没有详细的解释。本文旨在作为关于该引理的一组笔记，而不是一个全面的教程。

内容

示例

具体例子

设 L=Q(2,3), K=Q, 且 M=Q(2)。请注意，L={a+b2+c3+d6:a,b,c,d∈Q},M={k+l2:k,l∈Q}。现在，L 的 K-自同构群为 K∗={ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4}，其中每个 ϕi 由下式给出： ϕ1:a+b2+c3+d6↦a+b2+c3+d6, ϕ2:a+b2+c3+d6↦a−b2+c3−d6, ϕ3:a+b2+c3+d6↦a+b2−c3−d6, ϕ4:a+b2+c3+d6↦a−b2−c3+d6.

那么 M∗={ϕ1,ϕ3}。设 τ=ϕ2。那么 τ(M)={τ(x):x∈M}={τ(k+l2):k,l∈Q}={k−l2:k,l∈Q}。请注意，在这种情况下，我们最终得到 τ(M)=M，但我们会小心不利用这个事实。我们将确保以下步骤在不假设 τ(M)=M 的情况下有效。接下来我们求 (1)τ(M)∗={ϕ1,ϕ3}。

现在 τM∗τ−1={τγτ−1:γ∈M∗}={τϕ1τ−1,τϕ3τ−1}。现在让我们找出 τM∗τ−1 的每个元素如何转换 L 的元素。对于所有 a+b2+c3+d6∈L，我们得到 (τϕ1τ−1)(a+b2+c3+d6)=(τϕ1)(a−b2+c3−d6)=τ(a−b2+c3−d6)=a+b2+c3+d6。因此 τϕ1τ−1=ϕ1。类似地，(τϕ3τ−1)(a+b2+c3+d6)=(τϕ3)(a−b2+c3−d6)=τ(a−b2−c3+d6)=a+b2−c3−d6。因此 τϕ3τ−1=ϕ3。我们已经证明 (2)τM∗τ−1={ϕ1,ϕ3}。

从 (1) 和 (2) 我们看到 τM∗τ−1=τ(M)∗。由于我们在这里使用的是 τ 的一个具体例子，我们确切地知道它是如何表现的，所以我们成功地证明了上面的等式。然而，在一般证明中，τ 将是 L 的一个任意 K-自同构，所以我们无法确切地知道它是如何表现的，因此，我们无法直接获得上面的等式。因此，在一般的证明中，我们将首先证明 τM∗τ−1⊆τ(M)∗，然后我们将证明 τM∗τ−1⊇τ(M)∗，以证明上面的等式。

LHS ⊆ RHS

再次，让我们看看 τM∗τ−1 的每个元素如何转换 τ(M) 的元素。请注意，这次我们不会检查它们如何转换 L 的任意元素。我们只会看到它们如何转换 τ(M) 的元素。对于所有 k−l2∈τ(M)，我们得到 (τϕ1τ−1)(k−l2)=(τϕ1)(k+l2)=τ(k+l2)=k−l2。类似地，对于所有 k−l2∈τ(M)，我们得到 (τϕ3τ−1)(k−l2)=(τϕ3)(k+l2)=τ(k+l2)=k−l2。请注意，上面的 ϕ1 和 ϕ3 都固定了 k+l2∈M，因为 ϕ1,ϕ2∈M∗，即 L 的 M-自同构集合。这个细节将在一般证明中使用。

由于 τϕ1τ−1 和 τϕ3τ−1 都固定了 τ(M) 的元素，所以它们都是 L 的 τ(M)-自同构。因此 τM∗τ−1⊆τ(M)∗。

LHS ⊇ RHS

考虑集合 τ−1τ(M)∗τ，并检查它的元素如何转换 M 的元素。对于所有 k+l2∈M，我们得到 (τ−1ϕ1τ)(k+l2)=(τ−1ϕ1)(k−2)=τ−1(k−2)=k+l2。类似地，对于所有 k+l2∈M，我们得到 (τ−1ϕ3τ)(k+l2)=(τ−1ϕ3)(k−2)=τ−1(k−2)=k+l2。这里，ϕ1 和 ϕ3 都固定了 k−l2∈τ(M)，因为 ϕ1,ϕ2∈τ(M)∗，即 L 的 τ(M)-自同构集合。

由于 τ−1ϕ1τ 和 τ−1ϕ3τ 都固定了 M 的元素，所以它们都是 L 的 M-自同构。因此 τ−1τ(M)∗τ⊆M∗，这意味着 τM∗τ−1⊇τ(M)∗。

LHS = RHS

前两节完成了用所选例子对引理的说明。我们已经证明 τM∗τ−1⊆τ(M)∗ 且 τM∗τ−1⊇τ(M)∗。因此 τM∗τ−1=τ(M)∗。

证明

前面各节中提出的思想现在将扩展以形成一个通用的证明。为清楚起见，在继续证明之前，再次声明引理如下。

引理 12.1. 假设 L/K 是一个域扩张，M 是一个中间域，τ 是 L 的一个 K-自同构。那么 τM∗τ−1=τ(M)∗。

证明. 对于所有 γ∈M∗, x′∈τ(M)，我们使用符号 x=τ−1(x′)∈M 并得到 (τγτ−1)(x′)=(τγ)(x)=τ(x)=x′。在上面的第二个等式中，我们使用了 γ∈M∗ 的事实，这意味着 γ 是 L 的 M-自同构，这允许我们得出结论 γ(x)=x。由于每个 τγτ−1∈τM∗τ−1 都固定了所有元素 x′∈τ(M)，因此每个 τγτ−1 必须是 L 的 τ(M)-自同构。因此 τM∗τ−1⊆τ(M)∗。

类似地，对于所有 γ′∈τ(M)∗, x∈M，我们使用符号 x′=τ(x)∈τ(M) 并得到 (τ−1γ′τ)(x)=(τ−1γ′)(x′)=τ−1(x′)=x。在上面的第二个等式中，我们使用了 γ′∈τ(M)∗ 的事实，这意味着 γ′ 是 L 的 τ(M)-自同构，这允许我们得出结论 γ′(x′)=x′。由于每个 τ−1γ′τ∈τ−1τ(M)∗τ 都固定了所有元素 x∈M，因此每个 τ−1γ′τ 必须是 L 的 M-自同构。因此 τ−1τ(M)∗τ⊆M∗。这意味着 τM∗τ−1⊇τ(M)∗。

我们已经证明 τM∗τ−1⊆τ(M)∗ 且 τM∗τ−1⊇τ(M)∗。因此 τM∗τ−1=τ(M)∗。