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特例 Jordan 代数

发布于 2020 年 10 月 28 日，作者：apgoucher

在 20 世纪 30 年代初，Pascual Jordan 试图形式化厄米特矩阵的代数性质。特别是：

• 厄米特矩阵形成一个实向量空间：我们可以加减厄米特矩阵，并将其乘以实数标量。也就是说，如果 并且 是厄米特矩阵，那么线性组合 也是厄米特矩阵。
• 我们_不能_乘以厄米特矩阵并获得厄米特结果，除非矩阵可交换。因此，矩阵乘积 不一定是厄米特矩阵，但是“对称化”乘积 是厄米特矩阵，并且在矩阵可交换时与普通乘法一致。

现在，根据定义，此对称化乘积 是可交换的，并且也是（双）线性的：。此产品还必须满足哪些其他代数性质？重要的是：

• 幂结合性： 表达式 不依赖于括号的使用。
• 形式现实性： 平方和为零当且仅当所有加数为零。

第二个条件意味着我们可以说 Jordan 代数的一个元素是“非负的”，如果它可以表示为平方和。（在熟悉的实对称矩阵的上下文中，这与矩阵是半正定的性质一致。）非负元素形成一个“锥”，该“锥”在乘以正实数标量和加法后是封闭的。

Jordan、von Neumann 和 Wigner 继续对这种形式的所有有限维代数（称为_形式实Jordan代数_）进行分类。他们表明，每个这样的代数都是“简单”代数的直接和，其中每个代数同构于[至少]以下代数之一：

• 维度为 n（对于任何正整数 n）的实对称矩阵，具有上述对称化乘积；
• 维度为 n 的复厄米特矩阵；
• 维度为 n 的四元数厄米特矩阵；
• 维度为 n 的八元数厄米特矩阵（其中 n ≤ 3）；
• 代数 ，乘积为 ，称为“旋量因子”。正如 John Baez 提到的，这些可以识别为 Minkowski 空间，并且非负元素恰好是原点的“未来锥”。

“至少”的限定是因为这里有一些同构： 简单的形式实 Jordan 代数，显示了四个无限族和特例 Jordan 代数

恰好有一个简单的形式实 Jordan 代数无法适应任何四个无限族。这种特例 Jordan 代数是 ，即具有对称化乘积的 3x3 自伴八元数矩阵。作为实向量空间，它是 27 维的：可以通过指定三个对角元素（必须是实数）和三个较低的非对角元素（可以是任意八元数）来唯一地描述任意元素；然后确定三个较高的非对角元素。

从 Jordan 代数获得的射影空间

给定一个形式实 Jordan 代数，我们可以考虑满足 的幂等元素。对于由 n -by-n 实数、复数或四元数矩阵构建的 Jordan 代数，这些是具有特征值 0 和 1 的矩阵。

我们得到这些“投影”矩阵上的偏序：当且仅当 时，A “包含” B 。可以将此偏序集识别为基本域上 (n −1) 维射影空间中分层子空间的集合：

• 零矩阵对应于空空间；
• 秩为 1 的投影矩阵对应于点；
• 秩为 2 的投影矩阵对应于线；
• …
• 秩为 (n −1) 的投影矩阵对应于超平面；
• 单位矩阵对应于完整的射影空间本身。

特例 Jordan 代数给出了我们_八元数射影平面_，由 Ruth Moufang 发现。我们无法获得任何更高维的八元数射影空间，因为 Desargues 定理在八元数射影平面中是错误的，而在可以嵌入到 3 维射影空间中的任何平面中都是正确的。我们七年前提到了这一点。

这暗示了为什么 4x4 和更高的八元数矩阵没有希望形成形式实 Jordan 代数：我们将能够定义八元数射影 3 空间，这是不可能的。

那么旋量因子呢？![\