数论入门：自然数的公理化研究——Peano Axioms

Premmi 和 Beguène 编写

前一个主题： 数字的公理化研究

引言

直观地思考数字会让人想到最简单和最基本的数字集合，即自然数集合。 这些数字用于计数物体，如汽车、书籍、钢笔等。如果我们将 1,2,31, 2, 31,2,3 等自然数与计数关联起来，那么我们如何将 −4,3 −4, \sqrt{3}−4,3​ 和 227\frac{22}{7}722​ 等数字与相应的概念关联起来呢？

为了推理我们在数学研究中遇到的各种数字，我们需要一个精确的数学框架来定义数字。我们将构建这个框架，首先严格地以公理化的方式定义自然数，而不依赖于计数的直观概念。然后，以这个框架为基础，我们将用自然数构造所有其他数字集合，如整数、有理数、实数和复数。

一个好的公理系统尽可能地少假设，同时尽可能多地证明。为了为自然数创建一个有效的公理化体系，我们必须将这些数字提炼成它们的本质属性。直观地，我们理解自然数的各个方面，例如它们的存在以及二元运算加法、乘法和“小于”关系的基本属性。我们可以将多少个这样的概念作为公理，从中我们可以推导出我们需要知道的关于自然数的一切？事实证明，自然数的公理化只需要非常少的知识——加法、乘法和“小于”关系都不需要作为公理；这些都将从我们的基本公理中构建出来。

自然数的标准公理化，称为 Peano Axioms，最初由意大利数学家 Giuseppe Peano 提出。1889 年，Peano 基于他的自然数公理开发了实数系统。他通过九条公理定义了自然数，其中四条建立了等式关系“===”关于自然数的性质，而剩下的五条公理提供了自然数的完整而严谨的定义。

为了理解 Peano 的智慧成就，值得注意的是，仅利用他的公理，我们就能证明自然数的所有既定属性。此外，这些公理有助于构造整数、有理数、实数和复数系统。

在我们详细讨论 Peano's Axioms 之前，探索一种不同于通常计数的直观概念来描述自然数的方法是一个有用的练习。 这样的探索将有助于我们独立地得出 Peano 的公理。

自然数公理化定义背后的直觉

我们如何对表示为 0,1,2,30, 1, 2, 30,1,2,3 等的自然数的概念进行建模，而不依赖于计数的概念？

一种方法是采用集合论方法。 也就是说，我们可以通过系统地枚举该集合成员的属性和关系来定义自然数集合，使得该集合的结果为 {0,1,2,3,…}{0, 1, 2, 3, \ldots}{0,1,2,3,…}。

让我们将自然数集合表示为 N\mathcal{N}N。首先，我们认识到 000 应该是该集合的一部分。接下来，我们希望 000 引导我们到达 111，111 到达 222，并且我们应该能够以这种方式继续下去，只要我们愿意，就可以命名每个连续的数字。 如下图所示。

0→1→2→3→…0 \rightarrow1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow \ldots0→1→2→3→…

从上图中我们可以看到，为了对这种关系进行建模，我们需要一个“下一个”操作，该操作给定一个自然数，产生序列中的下一个自然数。

上面的图也可以如下所示。

0→11→22→3⋮ ⋮\begin{equation*} \begin{split} 0 &\rightarrow 1 \\ 1 &\rightarrow 2 \\ 2 &\rightarrow 3 \\ \vdots &\quad,,,, \vdots \\ \end{split} \end{equation*} 012⋮​→1→2→3⋮​​

我们可以从图中看到，输入 000 会产生输出 111，输入 111 会产生 222，依此类推。 因此，我们可以将“下一个”操作建模为一个*函数* S:N→NS : \mathcal{N} \rightarrow \mathcal{N}S:N→N，它以一个自然数作为输入并产生一个自然数作为输出。 这里，字母 SSS 代表“后继”，我们有 S(0)=1,S(1)=2S(0) = 1, S(1) = 2S(0)=1,S(1)=2 等等。 我们将把这个函数 SSS 称为* 后继函数 *，因为它在自然数集合 N\mathcal{N}N 中建立了一个后继。 该函数 SSS 如下图所示。

从上图中，我们可以观察到后继函数 SSS 具有以下属性：

  1. 非满射： 在 N\mathcal{N}N 中没有自然数，当作为后继函数 SSS 的输入时，会导致 000 作为输出。 这意味着 SSS 的陪域的每个元素都不是其域中至少一个元素的图像。 因此，我们可以得出结论，SSS 不是满射，因为对于任何 n∈NS(n)≠0n \in \mathcal{N}S(n)=0。
  2. 单射： SSS 的不同输入产生不同的输出。 这意味着 SSS 的陪域的每个元素最多是其域中一个元素的图像； 也就是说，对于任何 n,m∈NS(m)=S(n) 意味着 m=nn, m \in \mathcal{N}S(m)=S(n)意味着m=n。 因此，SSS 是单射。

从图中，我们还可以看到自然数要么是 000，要么可以通过将后继函数应用于 000 有限次数从 000 获得。 这意味着 N\mathcal{N}N 是包含 000 并允许满足条件 (1) 和 (2)(1) \text{ and } (2)(1) 和 (2) 的后继函数的最小非空集合。

因此，为了使 Peano Axioms 准确地描述自然数集合，它们必须定义一个包含 000 并允许如上所述的后继函数的集合。

Peano's Axioms 的原始公式

在我们讨论 Peano's Axioms 的现代版本之前，了解 Giuseppe Peano 最初是如何陈述这些公理的很有趣。 在阅读 Peano's Axioms 时，值得记住的是，在 Peano 的时代，集合的概念仍然不成熟。 Peano 在 1889 年引入了符号 ∈\in∈ 来表示“是……的元素”。 了解 Peano 对这些公理的原始公式有助于我们了解我们在数学之旅中走了多远，并突出了我们朝着更好的数学符号和抽象的旅程仍在继续。 😃

下面列出的公理出现在 1974 年出版的《Historia Mathematica 1》一书的第 387−408387-408387−408 页之间。

1891 年，在出版他的自然数公理两年后，Giuseppe Peano 在他同年创办的期刊上发表了一篇题为“Sul concetto di numero”的文章，翻译为“论数的概念”。 在这篇文章中，他通过消除与等式关系“= ⁣ ⁣"=\!\!"=" 相关的四个公理，将他的公理列表减少到五个。

以下是在文章中陈述的五个 Peano's 公理：

我们可以看到古老的符号是如何混淆这些公理的。

这些可以解释为：

在 1889 年和 18911889 \text{ and } 18911889 和 1891 年发布的 Peano Axioms 中，自然数序列从 111 开始，自然数集合表示为 N\mathit{N}N。 但是，在 189818981898 年，这些公理被修改为序列从 000 开始，集合表示为 N ⁣0\mathit{N_{\!0}}N0​。

在 190119011901 年，五个 Peano Axioms 的集合增加到六个，增加了公理 N ⁣0∈Cls\mathit{N_{\!0}} \in \text{Cls}N0​∈Cls，即自然数构成一个类。 添加了最后一个公理后，这些公理已获得最终形式，如下所示。

自然数的公理化

我们将首先定义与自然数相关的等式概念，然后我们将制定 Peano Axioms，使其提供自然数的公理化定义。

尽管 Giuseppe Peano 在后来制定的关于自然数的公理中省略了与等式关系相关的四个公理，但为了完整起见，我们仍将讨论这些公理。 省略此内容的原因可能是因为 等式 的概念超越了自然数，扩展到一般的数学对象，并且更多地与逻辑领域相关，逻辑指定了两个数学对象可以被认为是相等的条件。

在对 Peano's Axioms 的讨论中，我们将采用其最终形式的一些约定。 因此，我们将从 000 而不是 111 开始我们的公理系统，并将自然数集合表示为 N0\mathbb{N_0}N0​，下标 000 提醒我们包含 000。

等式的概念

在以公理化的方式定义自然数 N0\mathbb{N_0}N0​ 集合之前，我们将通过 Peano 的四个公理来形式化等式的概念，这些公理建立了由 === 表示的等式关系必须满足的属性。

假设存在一个集合 N0\mathbb{N_0}N0​，它满足下面列出的公理 111 到 999。

首先，每个自然数都应该等于它本身； 这被称为自反公理。

公理 1\mathbf{1}1. 对于每个 x∈N0,x=xx \in \mathbb{N_0}, x = xx∈N0​,x=x。

其次，如果一个自然数等于第二个自然数，那么第二个自然数应该等于第一个自然数。 这被称为对称公理。

公理 2\mathbf{2}2. 对于每个 x,y∈N0, 如果 x=y，则 y=xx, y \in \mathbb{N_0}, \text{ if } x = y, \text{ then } y = xx,y∈N0​, 如果 x=y, 则 y=x。

第三，如果一个自然数等于第二个自然数，并且第二个自然数等于第三个自然数，那么第一个自然数和第三个自然数彼此相等。 这被称为传递公理。

公理 3\mathbf{3}3. 对于每个 x,y,z∈N0, 如果 x=y 且 y=z，则 x=zx, y, z \in \mathbb{N_0}, \text{ if } x = y \text{ and } y = z, \text{ then } x = zx,y,z∈N0​, 如果 x=y 且 y=z, 则 x=z。

自反性、对称性和传递性这三个属性适用于通过 等式 相关的任何两个数学对象。正如我们在研究集合论时已经讨论过的那样，等式是 示例 的 齐次二元关系，它满足自反性、对称性和传递性的上述三个属性。

由于等式关系是为所有数学对象定义的，而不仅仅是为自然数定义的，因此我们必须明确地假设，如果两个数学对象相等，即它们满足等式关系，并且其中一个是自然数，那么另一个也必须是自然数。 下一个公理明确了这个假设，即自然数只能等于另一个自然数。

第四，如果任何数学对象等于自然数，那么该数学对象本身就是自然数。 这被称为等式公理的闭包。

公理 4\mathbf{4}4. 对于所有 x 和 y，如果 x∈N0 且 x=y，则 y∈N0x \text{ and } y, \text{ if } x \in \mathbb{N_0} \text{ and } x = y, \text{ then } y \in \mathbb{N_0}x 和 y, 如果 x∈N0​ 且 x=y, 则 y∈N0​。

也就是说，自然数集合在等式下是闭合的。

Peano Axioms

我们现在将讨论定义自然数的五个主要 Peano 公理。 Peano 旨在制定这些公理，以便最少的公理可以生成所有自然数。 因此，我们将通过在陈述每个公理后检查到目前为止陈述的公理是否可以明确地导致我们已知的自然数集合来构建 Peano 公理。 也就是说，我们将继续构建 Peano 公理，直到这些公理一起无可辩驳地导致 N0={0,1,2,…}\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \ldots\}N0​={0,1,2,…}。

这种构建 Peano 公理的方法使我们认识到，可以通过断言至少存在一个自然数，然后定义一个称为后继函数的函数来生成整个自然数集合。 此函数以一个自然数作为输入，并输出另一个自然数，从而构建所有剩余的自然数。

现在让我们继续构建 Peano Axioms。

由于我们从 000 开始计数，因此 000 是以公理化的方式包含在自然数集合中最明显的元素，这并不奇怪。

第五，000 是一个自然数。

公理 5\mathbf{5}5. 0∈N00 \in \mathbb{N_0}0∈N0​。

到目前为止，我们只能保证存在一个自然数 000。

我们应该能够从 000 生成其他自然数； 也就是说，从 000 开始，我们应该能够到达 111，从 111 到达 222，依此类推，类似于计数。 我们可以使用一个函数来对从一个自然数到下一个自然数的这种进展进行建模，该函数以一个自然数作为输入并产生另一个自然数作为输出。 这个函数被称为后继函数，因为它在自然数集合中建立了一个后继，并且写为 S:N0→N0S : \mathbb{N_0} \rightarrow \mathbb{N_0}S:N0​→N0​。 下一个公理只是指出存在一个函数 SSS，其定义域和陪域是自然数集合 N0\mathbb{N}_0N0​。

第六，每个自然数都有一个后继，它也是一个自然数。

公理 6\mathbf{6}6. 如果 x∈N0x \in \mathbb{N}_0x∈N0​，则 S(x)∈N0S(x) \in \mathbb{N}_0S(x)∈N0​。

也就是说，自然数集合 N0\mathbb{N}_0N0​ 在后继运算 SSS 下是闭合的。

正如该公理所暗示的，我们将 S(x)S(x)S(x) 称为 x\mathit{x}x 的后继。

到目前为止，我们只确定了自然数集合包含 000 及其后继 S(0)S(0)S(0)，其中函数 SSS 以自然数作为输入并输出自然数。 然而，我们距离我们已知的自然数集合还很远，因为我们可以有 N0={0}\mathbb{N}_0 = \{0\}N0​={0} 并定义 S(0)=0S(0) = 0S(0)=0，这仍然满足上述所有公理。 在这种情况下，N0={0}\mathbb{N}_0 = \{0\}N0​={0}，但我们希望 N0={0,1,2,3,…}\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}N0​={0,1,2,3,…}。

为了实现这一点，我们需要确保后继函数 SSS 不输出 000。 我们的下一个公理将通过禁止 000 成为任何自然数（包括其自身）的后继来保证这一点。

第七，000 不是任何自然数的后继。

公理 7\mathbf{7}7. 对于每个自然数 x∈N0,S(x)≠0x \in \mathbb{N}_0, S(x) \neq 0x∈N0​,S(x)=0。

这意味着没有自然数的后继是 000。 因此，在自然数集合上定义的 SSS 下 000 的 原像 是一个空集。

作为该公理的结果，我们知道 S(0)≠0S(0) \neq 0S(0)=0。 因此，S(0)S(0)S(0) 必须等于某个其他自然数，我们可以将其表示为 111。 因此，我们可以通过 S(0)=1S(0) = 1S(0)=1 定义 111。

基于公理 5,6 和 75, 6 \text{ and } 75,6 和 7，我们保证了至少存在两个自然数 0 和 10 \text{ and } 10 和 1，但并非必须存在其他自然数。

例如，我们可以定义 N0={0,1}\mathbb{N}_0 = \{0, 1\}N0​={0,1}，其中 S(0)=1 且 S(1)=1S(0) = 1 \text{ and } S(1) = 1S(0)=1 且 S(1)=1。 在这种情况下，两个自然数 0 和 10 \text{ and } 10 和 1 具有相同的后继，即 111。

如果 S(0)=1 且 S(1)=1S(0) = 1 \text{ and } S(1) = 1S(0)=1 且 S(1)=1，那么两个自然数 0 和 10 \text{ and } 10 和 1 具有相同的后继，即 111。 这组自然数以及在其上定义的后继函数 SSS 仍然满足上述所有公理。 但是，如果我们在这里停止，到目前为止构建的公理不能保证我们已知的其余自然数，即 2,3,4…2, 3, 4 \ldots2,3,4… 的存在。

因此，我们的下一个公理应确保不同的自然数具有不同的后继。 这意味着每个自然数最多是一个自然数的后继（因为 000 不是任何自然数的后继），这意味着 SSS 必须是 单射函数。

第八，除非两个自然数相等，否则它们没有相同的后继。

公理 8\mathbf{8}8. 对于所有 x,y∈N0x, y \in \mathbb{N}_0x,y∈N0​，如果 S(x)=S(y)S(x) = S(y)S(x)=S(y)，则 x=yx = yx=y。

该公理导致了一些重要的结果。 它排除了将 N0\mathbb{N}_0N0​ 定义为仅 {0,1}\{0, 1\}{0,1} 的可能性。 我们已经有 S(0)=1S(0) = 1S(0)=1，并且由于 SSS 是一个单射函数，因此我们不能有 S(1)=1S(1) = 1S(1)=1。 公理 777 排除了 S(1)=0S(1) = 0S(1)=0 的可能性。 因此，S(1)S(1)S(1) 必须是某个其他自然数，我们将其表示为 222。 因此，我们可以定义 2=S(1)2 = S(1)2=S(1)。

通过类似的论证，S(2)S(2)S(2) 不能是 0,1 或 20, 1 \text{ or } 20,1 或 2。 因此，它必须是某个其他自然数，我们将其表示为 333。 以这种方式继续下去，我们看到 N0\mathbb{N}_0N0​ 必须包含我们已知的全部自然数。

到目前为止，我们已经确定 N0\mathbb{N}_0N0​ 必须包括 000，其后继 1=S(0)1 = S(0)1=S(0)，其后继的后继 2=S(1)2 = S(1)2=S(1)，依此类推。 因此，N0\mathbb{N}_0N0​ 必须包括 0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),…0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), \ldots0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),…。 为了避免这么多嵌套的 SSS 应用，我们使用数字 1,2,31, 2, 31,2,3 来分别表示 S(0),S(S(0)) 和 S(S(S(0)))S(0), S(S(0)) \text{ and } S(S(S(0)))S(0),S(S(0)) 和 S(S(S(0)))。

前八个公理导致将 N0\mathbb{N}_0N0​ 定义为包含我们已知的全部自然数。

因此，到目前为止，我们只知道

{0,1,2,…}⊂N0\{0, 1, 2, \ldots\} \subset \mathbb{N}_0{0,1,2,…}⊂N0​

在这一点上，询问我们对 N0\mathbb{N}_0N0​ 的公理化定义是否排除了包含其他元素，这很有趣。

为了回答这个问题，让我们考虑一个版本的 N0\mathbb{N}_0N0​，它满足上述所有公理，但不是我们所知的通常的自然数集合。 那是，

N0={0,1,2,3,…}∪{!,−}\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \cup \{!, -\}N0​={0,1,2,3,…}∪{!,−}

可以看出，此版本的 N0\mathbb{N}_0N0​ 包含所有自然数，并且还包含两个其他符号，！和 −! \text{ and } -!和 −。

接下来，我们将定义在此集合上定义的后继函数。 对于 N0\mathbb{N}_0N0​ 的子集 {0,1,2,3,…}\{0, 1, 2, 3, \ldots\}{0,1,2,3,…}，我们将 SSS 定义为如上所述，即 S(0)=1,S(1)=2,S(2)=3S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3S(0)=1,S(1)=2,S(2)=3，依此类推。 对于 N0\mathbb{N}_0N0​ 的子集 {!,−}\{!, -\}{!,−}，我们将 S(!)=− 且 S(−)=!S(!) = - \text{ and } S(-) = !S(!)=− 且 S(−)=! 定义为。

此版本的 N0\mathbb{N}_0N0​ 与此后继函数满足所有公理，但它具有比我们希望自然数集合拥有的元素更多的元素。 如下所示。

类似地，可能有其他版本的 N0\mathbb{N}_0N0​ 具有不同的后继函数，每个函数都满足上述公理 5 到 85 \text{ through } 85 到 8，但也可以具有除自然数之外的其他元素。 如下图所示。

基于公理 5 到 85 \text{ to } 85 到 8，自然数集合 N0\mathbb{N}_0N0​ 满足以下条件：

这种定义集合的方式，其中基本子句指定集合的基本元素，归纳子句详细说明如何生成其他元素，被称为集合的归纳定义，这样的集合被称为归纳集合。

因此，公理 5 到 85 \text{ to } 85 到 8 仅确保 {0,1,2,…}⊂N0\{0, 1, 2, \ldots\} \subset \mathbb{N}_0{0,1,2,…}⊂N0​，其中 N0\mathbb{N}_0N0​ 是任何集合，使得 0∈N00 \in \mathbb{N}_00∈N0​ 并且如果 x∈N0,then S(x)∈N0x \in \mathbb{N}_0,\text{then } S(x) \in \mathbb{N}_0x∈N0​,then S(x)∈N0​。

但是，正如前面所讨论的并在上图中显示的那样，N0\mathbb{N}_0N0​ 的这个定义不排除将自然数以外的元素包含在该集合中。

为了确保只有自然数包含在集合 N0\mathbb{N}_0N0​ 中，即 N0={0,1,2,…}\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \ldots\}N0​={0,1,2,…}，我们的下一个（也是最后一个）公理应该声明 N0\mathbb{N}_0N0​ 是满足公理 5 到 85 \text{ through } 85 到 8 的最小集合； 具体来说，N0\mathbb{N}_0N0​ 是满足这些公理的所有集合的交集。

由于公理 999 在其构造中使用集合的归纳定义，因此它被称为归纳公理。

我们现在将陈述我们的第九个也是最后一个公理。 😇

公理 9\mathbf{9}9（归纳公理）。 如果 T⊂N0T \subset \mathbb{N}_0T⊂N0​ 使得：

那么 T=N0T = \mathbb{N}_0T=N0​。

正如我们已经讨论过的，公理 5 到 85 \text{ through } 85 到 8 确保了 {0,1,2,… }⊂N0\{0, 1, 2, \dots\} \subset \mathbb{N}_0{0,1,2,…}⊂N0​。 假设 T={0,1,2,… }T = \{0, 1, 2, \dots\}T={0,1,2,…}。 我们可以看到 0∈T 且 x∈T ⟹ S(x)∈T 对于所有 x∈N00 \in T \text{ and } x \in T \implies S(x) \in T \text{ for all } x \in \mathbb{N}_00∈T 且 x∈T⟹S(x)∈T 对于所有 x∈N0​。 因此，根据公理 999，{0,1,2,… }=N0\{0, 1, 2, \dots\} = \mathbb{N}_0{0,1,2,…}=N0​。

因此，我们最终得到了我们所知的自然数集合，即 N0={0,1,2,… }\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \dots\}N0​={0,1,2,…}。

归纳公理的替代公式：基于集合和基于谓词的视角

为了完整起见，我们将讨论两种替代方法来制定 Peano 的第九条公理，即归纳公理。

归纳公理是数论的基石，它提供了一个强大的工具来证明关于自然数的陈述。 它可以表示为两种等效形式：基于集合和基于谓词。 每种形式都为相同的基本原理提供了不同的视角。

基于集合的归纳公理：侧重于子集

公理 9\mathbf{9}9（归纳公理）。 如果 T⊂N0T \subset \mathbb{N}_0T⊂N0​ 是一个集合，使得：

那么 N0⊂T\mathbb{N}_0 \subset TN0​⊂T。

简而言之，如果自然数子集包含 000 并且在后继运算下是封闭的（这意味着如果自然数在子集中，则其后继也在子集中），那么该子集必须包含所有自然数。

如上所述，公理 5 到 85 \text{ through } 85 到 8 确保 {0,1,2,…}⊂N0\{0, 1, 2, \ldots\} \subset \mathbb