新的证明简化了熔化的数学模型：关于 Mean Curvature Flow 的研究
新的证明简化了熔化的数学模型
作者：Steve Nadis 2025年3月31日
一种强大的数学技术被用于模拟冰的融化和其他现象。但是，长期以来，它一直受到某些“噩梦场景”的威胁。一项新的证明消除了这一障碍。
By Steve Nadis Contributing Writer
2025年3月31日
想象一下，一块冰块漂浮在水中。最终，它会融化成一个微小的冰冻斑点，然后消失。当它收缩时，其表面变得更光滑，任何不规则或尖锐的边缘都会逐渐消失。数学家们希望更详细地了解这个过程，以便能够准确地说出冰的表面——或者说，逐渐被侵蚀的沙堡的形状——如何随时间变化。
为了分析这种现象，他们研究了更抽象的数学表面和形状如何根据特定的规则演变。这组规则定义了一个称为 Mean Curvature Flow 的过程，该过程同时平滑表面（即使是非常不规则的表面）并缩小它。
但是，随着表面的演变，奇点可能会形成：即数学描述失效的点。表面可能会突然突出，或者可能会变薄到曲率“爆炸”到无穷大的程度。许多常见的表面类型——例如那些封闭的表面，如球体——在 Mean Curvature Flow 期间肯定会表现出奇点。
如果这些奇点过于复杂，则流动将无法继续。
数学家们希望确保即使在奇点形成之后，他们仍然可以分析表面将如何继续演变。1995年，数学家 Tom Ilmanen (opens a new tab)，现在在苏黎世联邦理工学院，提出了“multiplicity-one”猜想。它指出，在 Mean Curvature Flow 过程中形成的任何奇点都必须相对简单。“坏”行为应仅限于单个点：例如，您不应看到多个区域（无论是来自同一表面还是不同表面）彼此堆叠在一起。
如果为真，multiplicity-one 猜想将证实奇点在 Mean Curvature Flow 方面不是一个障碍。如果出现奇点，流动可以继续——这使得数学家可以评估表面的演变。
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Tom Ilmanen 提出了 multiplicity-one 猜想，以排除在称为 Mean Curvature Flow 的过程中可能发生的“噩梦场景”。
Michel Büchel/ETH Zurich]
在过去的几十年中，数学家们在描述表面在 Mean Curvature Flow 中移动时的行为方面取得了许多进展。“但是到目前为止，所取得的许多结果都取决于 multiplicity-one 猜想为真，”加州大学伯克利分校的数学家 Richard Bamler (opens a new tab) 说。“不知何故，主要的绊脚石一直是 multiplicity-one 猜想。”
现在，他和纽约大学的 Bruce Kleiner (opens a new tab) 最终 证明了该猜想实际上是正确的 (opens a new tab)。
斯坦福大学的 Brian White (opens a new tab) 说：“这是一个伟大的突破。”这项工作不仅使数学家们现在能够更好地理解 Mean Curvature Flow，而且还可能在几何学和拓扑学中具有重要的应用。
全速流动
Mean Curvature Flow 的概念是在 1950 年代提出的，旨在解释金属冷却时发生的各种现象。1978年，宾夕法尼亚州萨斯奎哈纳大学的荣誉教授 Kenneth Brakke (opens a new tab) 在数学上形式化了这个概念。他的模型最终给出了一个更通用的数学描述，也可以应用于任何维度的抽象表面和形状。
multiplicity-one 猜想涉及封闭的二维表面，如球体或甜甜圈，它们存在于三维空间中。在这种表面的任何点上，您都可以计算其在给定方向上的曲率——衡量表面在该方向上弯曲速度的指标。您可能会考虑无限多的方向。但是数学家通常只需要查看给出最大和最小曲率值的方向。然后，他们取这两个数字的平均值。这个平均值被称为平均曲率，它可以提供有关该点表面的大量有用信息。
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Mark Belan/Quanta Magazine]
Mean Curvature Flow 使用该信息以尽可能快和有效地减少表面的面积。在 Mean Curvature Flow 期间，表面上的每个点将以等于其平均曲率的速度移动——并且在垂直于其“切线”平面的方向上移动，该切线平面是在该点最能近似表面的二维平面。（有两个这样的垂直方向，一个指向内，另一个指向外。如果表面在该点向外凸起，则流动向内移动。如果表面向内弯曲，则流动向外。）
以球体为例。Mean Curvature Flow 将以越来越快的速度将其向中心收缩。（这是因为随着球体收缩，每个点的平均曲率会变得更大：较小的球体比大的球体弯曲得更多。）最终，剩下的只是一个点，即球体中心曾经所在的位置。
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现在假设您的表面是一个部分凹陷的球体，就像在某些地方被撞击的足球一样。在 Mean Curvature Flow 期间，凹陷的部分将被推出，而表面的其余部分则向内移动。它看起来会越来越像一个完美的球体，然后它会缩小到一个点。
同样的过程将圆柱体减少为一条线，将甜甜圈减少为一个圆圈。但是对于更复杂的形状，如手柄在中心变窄的杠铃呢？在 Mean Curvature Flow 期间，手柄上最薄的点将缩小到一个点，从而产生奇点。这种奇点类似于肥皂泡从塑料棒上分离或水滴从水龙头分离的“pinch point”。在该pinch point，杠铃的表面不再光滑，曲率变得无限大。
这是一个问题。您不能将无穷大插入 Mean Curvature Flow 的等式中。该等式将崩溃；它不再能预测表面未来的演变。但是，如果您删除奇点，您将获得两个不同的泪滴形碎片。现在可以继续研究 Mean Curvature Flow 将如何影响这些碎片。它们会逐渐变得更光滑和圆润，几乎变成完美的球体，然后收缩到两个单独的点。
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Mark Belan/Quanta Magazine]
对于任何封闭的、紧凑的表面——即直径有限且具有清晰内外之分的表面——Mean Curvature Flow 注定会导致奇点。（对于一个简单的球体，这个奇点是表面收缩到的最终点。）“我们有这种应该使表面更简单的流动，但我们知道流动总是会变得奇异，”Bamler 说。“因此，如果我们想了解流动的行为，我们需要了解其奇点形成。”
这就是 multiplicity-one 猜想的用武之地。
分离是成功的关键
简单的奇点（如pinch point）可以以简单的方式移除，从而使 Mean Curvature Flow 可以不受阻碍地进行。但是，如果奇点更复杂——例如，如果表面内的两个片层汇合在一起，在整个区域重叠而不是仅影响一个点——这将是不可能的。在这种情况下，Bamler 说，“我们不知道流动的行为方式。”
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Richard Bamler 研究了称为几何流的过程，这些过程将一般几何对象转换为更简单和更对称的对象。
George Bergman]
Ilmanen 提出了他的猜想，以排除这些麻烦的情况。几十年后，Bamler 和 Kleiner 着手证明他是对的。
为此，他们想象了一个不寻常的形状——Kleiner 称之为“邪恶的悬链线”。它由两个球体组成，一个在另一个内部，由一个小的圆柱体或颈部连接，形成一个单独的表面。Kleiner 指出，如果颈部收缩得太快以至于将两个球形区域拉到一起，那将是“噩梦般的场景”。为了排除这种场景，他和 Bamler 想要了解这两个区域将如何相互作用，以及它们之间的分离如何随时间变化。
因此，这两位数学家将形状分解为不同的构建块——当您放大到它们时看起来像平行片的区域，以及称为最小表面的特殊区域（其平均曲率为零，因此在 Mean Curvature Flow 期间不会移动）。然后，他们定义了一个函数来测量表面上任何给定点到相邻区域上最近点的距离。
他们找到了一种分析这种“分离函数”如何随时间变化的方法，证明它永远不会变为零。这意味着噩梦般的场景永远不会发生。
数学家们可以轻松地将此方法应用于涉及相同类型构建块的封闭表面。但是“一般的[封闭]表面在某些区域可能看起来非常复杂，”Bamler 说——非常复杂，以至于“可能会阻止我们控制流动。”然后，他和 Kleiner 表明，这些有问题的区域必须非常小。“它只会以非常小的方式影响整个流动，”Bamler 说。“因此，我们可以从本质上忽略它。”
无论表面多么复杂或奇怪，分离函数都不会随着时间的推移变为零。换句话说，相邻区域永远不会收敛，也不会发生复杂的奇点。Ilmanen 的猜想是正确的。
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Bruce Kleiner 和他的同事最近证明了关于奇点如何在演化表面上形成的一个重要猜想。
Courtesy of Bruce Kleiner]
事实上，Bamler 和 Kleiner 表明，Mean Curvature Flow 几乎总是会导致两种特别简单的奇点之一：缩小到一个点的球体，或塌陷成一条线的圆柱体。Bamler 说：“任何其他类型的奇点仅发生在罕见的、高度特定的情况下，其中奇点是如此不稳定，以至于即使是最轻微的扰动也会消除它们。”
斯坦福大学的 Otis Chodosh (opens a new tab) 说，随着 multiplicity-one 猜想的解决，“我们现在基本上完全了解了三维空间中表面的 Mean Curvature Flow。”他补充说，这种知识可能在几何学和拓扑学中具有重要的应用，特别是如果数学家可以证明生活在 4D 空间中的三维表面的猜想。（Bamler 和 Kleiner 正在开始研究下一个案例，尽管他们说他们需要找到与用于二维表面不同的方法。）
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Chodosh 补充说，实际上，该证明可能允许数学家使用 Mean Curvature Flow 重新证明一个关于球体对称性的重要问题，称为 Smale conjecture。Bamler 说，先前对该猜想的证明非常复杂。使用 Mean Curvature Flow 的证明可能更容易理解。
一个相关的过程，称为 Ricci flow，已经被用来证明主要的猜想，包括著名的庞加莱猜想（另一个关于球体的陈述）。数学家们希望 Bamler 和 Kleiner 在 Mean Curvature Flow 方面的工作将有助于它成为一种同样强大的方法。White 说：“Bamler 和 Kleiner 在我们对 Mean Curvature Flow 核心奇点的理解方面取得了巨大的进步。”“它绝对开启了使用它作为一种工具……来做各种美妙事情的可能性。”
By Steve Nadis Contributing Writer
2025年3月31日