基于重心坐标的四边形双线性插值

Bilinear interpolation on a quadrilateral using Barycentric coordinates

Source | HN Comments

本文介绍了基于重心坐标的四边形双线性插值方法。文章首先阐述了在计算机图形学中，使用四边形建模的优势，以及由于GPU硬件限制，四边形通常被转换为三角形进行渲染，这可能导致插值属性（如纹理坐标、顶点法线）出现C1不连续性。接着，文章探讨了如何使用重心坐标在四边形上进行双线性插值，以解决C1不连续性问题，从而提高渲染质量。

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基于重心坐标的四边形双线性插值

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Łukasz Izdebski

Łukasz Izdebski, PhD, 是 AMD 游戏工程部的开发技术工程师，专注于游戏引擎渲染功能的优化。他的研究兴趣包括动画、几何建模和微分几何。

最初发布于 2025 年 4 月 11 日

在计算机图形学中，我们很少遇到连续数据。我们经常使用数字数据，在几何建模的上下文中，这意味着我们通常使用多边形网格，而不是像 Bézier 曲面片这样的程序化曲面。在专用建模软件中构建数字三维对象最流行的技术是多边形建模。创建阶段的结果是一组多边形（网格），其中网格中的多边形可以与其他多边形共享顶点和边。

虽然用户可以创建各种类型的曲面（例如，非流形），但最常见的曲面是拓扑 2-流形。简而言之，2-流形是拓扑学中的一个数学概念，其中空间在局部上类似于 R2\mathbb{R}^2R2 中的欧几里得平面。本质上，2-流形上的每个点都有一个看起来像平面一部分的邻域。

2-流形网格三角形示例 | 2-流形网格四边形示例 ---|--- |

在多边形的顶点上，用户可以存储附加数据（per-vertex attributes），例如顶点法线（用于模拟曲面）、纹理坐标（用于纹理映射）或 RGBA 颜色。

理论上，可以使用所有类型的多边形。然而，在实践中，3D 图形艺术家最常使用三角形和四边形。这些多边形通常在计算机图形 API（例如 Microsoft DirectX® 或 Vulkan®）中被称为拓扑图元。从艺术家的角度来看，四边形更有利，因为它们更容易使用。基于四边形建模的属性包括：

易于生成类似网格的曲面。
创建一种拓扑，提供易于调整的边流（在添加或删除边循环时）。
为细分算法产生可预测的结果。

外观不干净的网格 | 外观干净的网格 ---|--- |

基于四边形的拓扑还为将要动画的模型提供更干净的变形。

这些论点使基于四边形的拓扑成为艺术家在建模 3D 对象时的首选。

很久以前，GPU 放弃了对硬件加速四边形（或由 4 个以上顶点组成的多边形）光栅化的支持，因此也放弃了对其顶点中包含的顶点属性的插值（线条渲染是另一回事）。唯一具有硬件加速光栅化实现和参数插值的多边形是三角形。三角形赢得比赛是有充分理由的，我只说几个：

三角剖分定理： 该定理指出，三角形网格甚至可以近似复杂的曲面。
三角形顶点始终位于同一平面上： 这是因为任何三个非共线点始终会在三维空间中定义一个平面。
重心坐标： 此坐标系用于几何学中，以表示三角形内点的位置。这些坐标可用于在三角形表面上插值顶点属性。
电路的复杂性较低： 仅支持三角形的光栅化和插值需要更少的晶体管，这意味着此功能占用芯片上的空间更少。这可能会导致更小（且生产成本更低）的芯片，或者节省的空间可用于其他功能。

三角形是实时计算机图形学的基础，这反映在图形 API 支持的原始拓扑中。网格中使用的所有其他多边形类型都必须转换为三角形。当建模应用程序允许构建四边形网格时，此网格的可视化不是基于四边形。相反，应用程序将它们转换为三角形网格。这种必要的转换可能会在四边形表面上的插值顶点属性（例如纹理坐标、顶点法线向量和顶点颜色）中引入 C1C^1C1 不连续性。

对于本文涵盖的主题，C1C^1C1 不连续性是指分段函数连续但其一阶导数不连续的点。换句话说，分段函数本身没有跳跃或中断，但分段函数的斜率（或变化率）有跳跃或中断。

C1C^1C1 连续性 | C1C^1C1 不连续性 ---|--- 分段函数 | | 一阶导数 | |

对于将四边形光栅化为两个三角形，顶点属性插值中的 C1C^1C1 不连续性在将四边形分割成两个三角形的新创建的边上最为明显。

顶点颜色 | 纹理坐标 | 顶点法线 ---|---|--- | | [![](https://gpuopen.com/learn/bilinear-interpolation-quadrilateral-barycentric-coordinates</docs_images/bilinear_interpolation_on_a_quadrilateral_using_barycentric_coordinates/bilinear_interpolation_on_a_quadrilateral_using_barycentric_coordinates-html-_downloads-0290aed55724f46beb0047c2f18bc97c-5.