对 Math Academy 的平衡评测

摘要

Math Academy 是一种有效且有趣的，甚至略带“上瘾”的方式来训练程序性的流畅性。如果你的目标不仅仅是通过考试准备，那么你应该找一本能 感动你 的教科书或系列讲座，以获得概念上的深度理解，并且只将像 Math Academy 这样的东西作为补充。如果 Math Academy 团队能够承认这个局限性，并且也许能 建议 好的配套材料，我会更容易推荐它。

几个月没写东西了，因为一月份我们又生了一个孩子（第三个孩子，是个男孩）。到目前为止，他非常喜欢我们用吸尘器打扫卫生或者播放 Metallica 的音乐…… 不确定这说明了他什么样的个性，但至少房子是干净的。另外，我还在对 teachyourselfcs.com 进行重大更新，所以请继续提出你宝贵的建议！

我的一些学生对 Math Academy 赞不绝口，这是一个声称能带来非凡成果的在线数学程序。现在在 Twitter 或 Hacker News 上，很少能看到关于数学教育的讨论，而没有人 插话推荐它。

然而，来自深思熟虑的数学教师的评论，却并不那么积极。Michael Pershan 认为它是“根本上坏了”，而且无法修复。Dan Meyer 认为，这种学习可能只是错觉，但 假装困难的事情很容易是很有趣的！ Math Academy 的员工 Justin Skycak 是我们为 CS Primer 播客邀请的最受欢迎的嘉宾；在 他出现之后，一些我最尊敬的教育家的私下回应表明，我应该对他更严厉一些！

教育是复杂的，所以最受欢迎的课程和书籍，往往也是被批评最多的。《Structure and Interpretation of Computer Programs》或者龙书就是很好的例子。我在这里的目标不是解决冲突，而是尽可能地将其分解开来，希望无论你是否在寻找一个训练应用程序，都能以一种有趣的方式呈现。诚然，这需要一些时间（3000 字，15 分钟阅读时间），所以：

TL;DR:

Math Academy 可以成为一种有效且有趣的——甚至略带“上瘾”的方式，来训练程序性的流畅性。如果你的目标不仅仅是通过考试准备，那么你应该找一本能 感动你 的教科书或系列讲座，以获得概念上的深度理解，并且只将像 Math Academy 这样的东西作为补充。如果 Math Academy 团队能够承认这个局限性，并且也许能 建议 好的配套材料，我会更容易推荐它。

任何傻瓜都可以知道。重点是要理解。 ——虚构的爱因斯坦

另外，还有一个警告：我担心，如果我对 Math Academy 给出的评价不是好评如潮，我就会打击那些通过它取得成功的人继续学习的积极性。所以，如果你已经喜欢 Math Academy 了，请不要放弃！

可能令人上瘾的反馈循环

Math Academy 课程的核心结构是一个已解决的例子，然后是几个通常是多项选择题的问题。解释很少，而且几乎不存在有激励作用的背景。体验大致如下：

MA：假设你想区分一个反互反双曲函数

你：好的……

MA：arcsch(x) 的导数是 [...]

你：好的，我相信这以后会很有用

MA：是的，它是所有数学的依赖关系图中的一个重要节点，你需要掌握它才能进步。现在，这是一个应用于一个微不足道地不同的函数，例如 d/dx arcsch(3x) 的公式的例子

你：好的，这说得通

MA：按照相同的步骤，对这些进一步的细微变化进行操作

你：好的……

MA：你获得 10 XP！继续保持你的连胜！再获得 100 XP 就可以晋升到下一个联赛！

有趣的是，赚取虚构的分数并提升排行榜确实感觉很好。有一次，我获得了足够的 XP，以至于互联网上的一个陌生人注意到了：

有人问我是否“上瘾”了，坦率地说，这让我很不舒服。是的，我很享受这个过程，足以让我继续下去，超出了我最初尝试这个系统的目标。但是，我想 沉迷于此吗？这很有趣，XP 表明我正在（重新）建立一个我认为有价值的主题中的程序流畅性。当然，这比沉迷于其他类型的虚假互联网积分要好。但是，数学不仅仅是能够遵循一系列规则，而且我担心我的注意力正以一种我实际上并不想要的方式被吸引。

程序性的流畅性把我带到了哪里

我之所以能用我的“疯狂数字”吓到互联网上的陌生人，是因为我已经在 20 年前经历过这个过程了。在高中时，我努力为我的期末考试做准备，其中包括一门高级课程，该课程涵盖了与 Math Academy 早期本科课程中的大部分相同的内容。我做得足够好，被一所竞争激烈的大学课程录取，该课程是为最有前途的数学学生开设的……但我很快发现我不是。

你看，我通过练习足够多的题目，在考试中取得好成绩，而没有真正理解我在做什么，从而“赢得”了我的位置。该课程中的另一位学生——实际上，是在入学考试中得分最高的学生——也处于类似的情况，并提到他为了准备考试，多次做了 几十年 的往年试卷。他最终成为一名工程师，而我最终做了我现在所做的事情。

与此同时，我们班中成为专业数学家的两个人则完全不同：他们根本不做练习，而是研究他们理解上的差距，找到发展他们直觉的新方法，并且总体上专注于一个主题的细微概念方面，这些概念永远不可能被表述为考试题。他们仍然在考试中做得足够好，但这只是事后才考虑的事情。

我们之间的差距是令人震惊的，而且似乎是不可逾越的。我默默地放弃了，并在我的学位剩下的时间里基本上都在混日子，尽可能多地学习数学系的计算机科学课程，并希望我能为下一次吸取教训。

诊断测试的缺点

自从我上学以来，我已经带着更多的“理解我实际上在做什么”的方法回到了几个数学主题，但是我仍然有很多很大的漏洞，包括在微积分中，这令人尴尬。这最近成为我当前生物学研究的障碍，因为我想理解某些可以很好地建模为微分方程的过程。因此，在尝试 Math Academy 时，我考虑到这次我可能会在微积分方面做得更好。

我对无法通过 Math Academy 的微积分 1 测试并不感到惊讶，尽管诊断测试未能捕捉到核心问题令人不解：

所有这些都表明，诊断测试的概念很棒，并且在测试程序流畅性方面做得相当好——如果令人沮丧的话。可以理解的是，它在测试其他方面（例如你概念理解的深度或你的泛化能力）方面做得不好。这应该提醒你，你应该或不应该期望从整个平台中获得什么。

“方式”的傲慢

说到高度炒作但缺点很多的教育产品，我 6 岁的女儿偶尔会使用一个名为 Synthesis 的程序，而且非常喜欢它。它声称（当然也未能）成为一个“超人的数学导师”，但值得庆幸的是，它只是一些经过深思熟虑的互动讲解员和迷你游戏的集合。我听到的最常见的抱怨是内容还不够多，所以他们做得还不错！

课程以与 Synthesis “导师”的对话形式呈现，实际上是几句硬编码的散文，然后是一个多项选择题。显然，课程中有一条主要路径，因此大多数“选择”有效地导致了相同的地点和相同的节奏。这并不是完全糟糕：我很高兴他们周到地设计了一个主要的课程顺序，并且交互模式可能很可爱且引人入胜。

也就是说，它是我们尝试过的所有数学应用程序中“适应性”最差的应用程序。它是唯一一个可以同时强制执行并且如此令人麻木的应用程序，以至于我需要 自己 加速运行它才能保持我孩子的兴趣。从理论上讲，“交互式”结构应该比传统程序更具响应性；当然，一些 Synthesis 广告谴责的人类教师会让一个感到无聊的孩子更快地进步。

它所需要的只是一个“跳过课程”按钮！为什么没有“跳过课程”按钮！？

我的怀疑是，过去犯过类似错误的我，对他们解决方案的出色程度过于自信，以至于无法认识到它的缺点。“跳过课程”按钮可能会让人觉得承认了失败，而且嘿，也许最初的出色想法仍然可以挽救。

Math Academy 也以类似的傲慢失败了，尽管值得称赞的是，他们似乎正在真诚地尝试消除粗糙的边缘。允许第二次尝试失败的诊断问题是一个好主意。但是，对于第二次失误，让某人接受不必要的补习“先决条件”的字面意义上的“年”的惩罚太大了。在测验中对任何不正确的答案都需要复习问题也是如此：一位人类导师会专注于概念上重要的误解，而不是琐碎的错误和错别字。Math Academy 对这种设计的理由很可能是该程序基于“掌握”，但我关心的那种掌握是发展我的直觉，而不是磨练我的机械精度。

DAG 是谎言

教育中最大的谎言之一是，我们可能想学习的一切都在依赖关系图上占据着整洁的位置。想成为一名机器学习工程师？当然，你应该理解算法是如何工作的，所以首先学习线性代数和微积分，为此你需要代数，所以当然需要代数预备知识，等等。不要忘记在系统方面也这样做！也许从 CUDA 开始，不，等等，计算机体系结构，不，电子工程，不，物理……

看，我理解这种吸引力。作为一名教师，能够为一门课程建立一些假设的知识是很好的，这样我们才能从那里开始构建。当我教授操作系统时，我喜欢假设对计算机体系结构有一定的了解，这样我就可以在 CPU 级别解释上下文切换。类似地，我不鼓励你在算术之前教授微积分。

但是，你应该在微分之前学习积分吗？在我阅读 David M. Bressoud 的精彩著作《Calculus Reordered》之前，我从未考虑过这种方法，该书论证说，积分的概念基础——作为薄片的积累——比曲线的切线或变化率更直观。对于阿基米德来说，情况肯定如此，他在费马和笛卡尔开始寻找切线之前两千年就以这种方式计算体积。

与高中数学老师交谈，你会发现从积分开始也有问题：问题可能会在代数上迅速变得过于具有挑战性，偏离标准顺序可能会让你没有太多外部支持，并且当应用程序超出面积和体积时，学生可能会失去动力。

当然，不仅仅是微分与积分。对于任何习俗性的“依赖关系”一个主题在另一个主题之上，考虑逆向关系是完全合理的：

最终，没有一种最佳方法。理想情况下，每个学生都会根据他们特定的背景和目标在主题之间跳跃，这种灵活性对于学校来说具有挑战性，但在结构较少的环境中更容易实现。如果学习者不受结构的约束并且有成功的动力，那么他们最好掌握知道何时将焦点从 A 切换到 B，以及何时返回 A 的元技能。国际象棋大师不会在进入中局和残局之前“掌握”开局；游戏的各个方面都在不断研究，并且每一个方面都相互影响。

那么，为什么一些为自学者设计的学习资源——例如 Math Academy，或者通常非常好的 Execute Program——如此严重地依赖依赖关系图？慷慨的回答可能是学习者不现实地知道一个合适的顺序，并且向他们展示“理想”可能会激励他们。愤世嫉俗的回答是，这些程序将掌握学习的想法发挥得太过分了，并且变得教条化了。DAG 的傲慢。毕竟，仅仅是 向 用户 展示 建议的排序，而没有严格要求必须遵循它，这很容易。

所有这些都是我对“掌握学习”的更广泛抱怨的一部分。乍一看，一切听起来都不错：是的，当然我们应该在继续前进之前“为学生提供个性化的支持和重复的机会来展示掌握情况”。但是，如果学生仍然没有通过，例如由于糟糕的课程设计、无关紧要的问题（如应试技巧）或仅仅是无聊呢？你是告诉他们更加努力还是放弃？

我最近阅读了 Jonathan Watts 的大开眼界的 James Lovelock 传记，James Lovelock 是一位世界一流的科学家，他发明了电子捕获检测器，并且首次观察到大气中 CFC 水平升高。尽管如此，Lovelock 终其一生都在与基本算术作斗争，需要一些令人印象深刻的变通方法：

“掌握学习”会如何对待 James Lovelock？学校系统已经够糟糕的了；值得庆幸的是，他有足够的信心忍受学校对他的糟糕判断，足够长的时间，以便以其他方式证明自己。但是，如果你要将小学算术放在 所有数学 的依赖关系图上，它肯定是一个非常早期的顶点。如果像 Lovelock 这样的人根本无法从那里进步，那就是学习系统的失败，而不是个人的失败。

社交运动实际上是好的

尽管 Math Academy 存在这些结构性问题，但对于许多学习者来说，它仍然是一个不错的选择，成百上千的快乐用户和频繁的好评证明了这一点。我希望 Pershan 和其他批评者至少承认这一点：所有这些学生现在都在定期学习数学，而他们以前根本没有这样做。我们有什么理由阻止他们呢？

当然，许多积极情绪是由于炒作。有人可能会阅读 Math Academy 员工的 Twitter 帖子并进行测试。他们喜欢反馈循环一段时间，并将其推荐给其他人。不久之后，人们甚至在没有尝试过该程序的情况下就推荐该程序，这是基于一种新奇的光环和普遍的社会兴趣。教科书可能比相应的 Math Academy 课程好得多，但不太可能产生相同程度的炒作。

但这很好，甚至很好。我们是社会性动物，通常具有社会动机。参与其他人兴奋的事情可能很有趣，并且炒作可以帮助提供尝试新事物的启动能量。有些人会坚持很长时间，有些人会在一个月后取消，但这只是教育产品的运作方式：每个人都带着不同的背景而来，因此没有单一资源会普遍理想。如果社交炒作鼓励更多人尝试它，那就太好了。

理解文明的荣耀

我本人不是很受社会驱动。我很高兴蜂巢思维建议我尝试 Math Academy，但社交炒作和排行榜不会长期维持我的兴趣。积分、连胜或其他游戏机制也不会。这些可能会提供一点启动能量，但如果我要投入数百小时来学习一些困难的东西，并在十年后记住我所学到的东西，那么动力必须来自其他地方。

每个人都有自己的动机组合，我最不想做的就是评判别人的动机。但就我个人而言，如果一本书承诺帮助我用数学来研究 西方文明的主要荣耀，那么这可能会维持我的兴趣。

这来自 George F. Simmons 的《Differential Equations with Applications and Historical Notes》的介绍，对于我来说，这本书尽可能完美地涵盖了这个主题。它不仅具有激励作用，而且还具有鼓舞、驱动和提升作用。按照数学教科书的标准，它充满了魅力、兴奋甚至爱。

Simmons 的处理方法是如此充满活力，以至于像 Math Academy 这样的东西相比之下显得毫无生气。并排使用它们会让人觉得很粗鲁。但这很可能是我要做的。

我对 Math Academy 的根本抱怨是它夸大了程序流畅性的价值。我希望他们承认这一点，并且至少建议概念丰富的 Simmons 级别的书籍作为补充。我个人认为教科书或系列讲座是核心，而 Math Academy 是补充，用于在需要时进行额外的训练，就像数字 Schaum's Outline 一样。像这样的资源 非常有价值，但最终是有限的，因此如果你对你的学习成果负责，你应该记住根据需要进行混合和匹配。