一个使 e 变得自然的可爱证明
PO-SHEN LOH HOME ABOUT COURSES NEWS TOUR CMU CONTACT 发布于 2025 年 4 月 16 日
一个使 e 变得自然的可爱证明
有关涵盖 e 的诸多属性（包括历史以及与现有教学方法的比较）的完整文章：来自 arXiv 的 PDF。视频讲解将很快在此处发布。
此网页摘录了文章的一部分，该部分使用 Pre-Calculus 语言来解释 e 的自然之处，同时直观地连接以下两个重要属性：
- y=ex 在点 (x,ex) 处的切线的斜率恰好是 ex。（用 Calculus 语言来说：ex 是其自身的导数。）
- 当 n 增长时，表达式 (1+1n)n 趋近于 e。
关键概念起始点
从几何角度来看，实际上只有一种指数函数曲线形状，因为所有指数函数曲线 y=ax（其中 a 是正实数基数）都只是彼此的水平拉伸。这与所有椭圆都是彼此的拉伸（原因相同）完全一样。
例如，y=8x 水平拉伸 6 倍是 y=8x/6=(2)x。
从几何角度来看，由于拉伸是一个连续的过程，因此这些水平拉伸的指数曲线中，只有一条曲线具有这样的性质：其在 y 轴截距处的切线具有特别好_且自然_的斜率 1。
我们将 e 定义为与该曲线对应的唯一正实数基数。
简单的 e 近似
让我们找到一个指数曲线在 y 轴上的切线斜率为 1 的数字。为此，我们取曲线 y=3x 并估计水平拉伸它的因子。首先，我们必须估计 y=3x 在其 y 轴截距 A(0,e0) 处的切线的斜率。但是如何做到这一点呢？这需要 Calculus 吗？不需要！Algebra 就足够了！
考虑曲线上一个非常附近的点：B(h,3h)，其中 h 很小但不是零。直线 AB 的斜率是 3h−30h−0。使用 h=0.0001 来近似该切线斜率：30.0001−10.0001−0≈1.09867。因此，水平拉伸一个 ≈1.09867 的因子将使切线斜率 ≈1。所以 3x/1.09867=(31/1.09867)x 的切线斜率 ≈1。
因此，31/1.09867≈2.71814 接近 e。这非常好，因为实际上 e≈2.718281828459045。
无处不在的美丽切线斜率
相同的方法可以推导出 y=ex 在任何点 P(x,ex) 处的切线的斜率。考虑曲线上一个非常附近的点：Q(x+h,ex+h)，其中 h 很小但不是零。直线 PQ 的斜率是 ex+h−ex(x+h)−x=ex⋅(eh−e0h−0)。
括号中的值是穿过 (0,e0) 和 (h,eh) 的直线的斜率，因此当 h 缩小时，括号中的值变为 y=ex 在 y 轴截距处的切线的斜率。根据我们对 e 的定义，这奇迹般地简化为 1。（这正是我们构建此定义的方式。）
因此，P(x,ex) 处的切线的斜率只是 ex。
用 Calculus 语言重新表述：ex 是其自身的导数。这也许是 e 最重要的属性，因为从 e 产生的 Calculus 事实都可以由此推导出来。
复利极限
Pre-Calculus 通常教授 e 的另一种定义，即表达式 (1+1n)n 的极限，该表达式来自连续复利。为了协调这些方法，我们现在从视觉上证明 (1+1n)n 趋近于我们定义的相同数字。
由于 logbx 是 bx 对于任何基数 b 的反函数，因此使用我们的基数 e，我们得到 (1+1n)n=(eloge(1+1n))n=enloge(1+1n)。我们使用基数 b=e（而不是例如 10），因为它现在方便地足以证明指数中的表达式随着 n 的增长趋于 1。该表达式重新排列成斜率计算！nloge(1+1n)=loge(1+1n)1n =loge(1+1n)−loge(1)(1+1n)−(1) 这就是曲线 y=logex 上的点 (1,0) 与曲线上另一个非常附近的点之间的直线的斜率。随着 n 的增长，这趋于 (1,0) 处的切线的斜率。只要我们证明斜率为 1（这也是一个自然的寻求目标），我们就完成了。
为此，由于 logex 是 ex 的反函数，因此它们的图形是关于直线 y=x 的反射。
以下两条线都具有斜率 1：
- 根据 e 的定义，通过 (0,1) 的 y=ex 的切线；以及
- 直线 y=x。
因此，它们是平行的，从而产生了这种漂亮的反射：
因此，y=logex 在 (1,0) 处的切线的斜率确实是 1，从而完成了证明！
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