是否可以将 1 视为 Prime 数，这重要吗？

如果你在街上随便问一个人 1 是否为素数（Prime number），他们可能会停顿一下，努力回忆他们学过的知识，然后说“不是”（或者“是”或者“我不记得了”）。或者他们可能会匆匆过马路。另一方面，如果你问一个数学家，他们很可能会说“这是一个很好的问题”或者“这是一个很有趣的故事……”

有些人认为 1 不是素数仅仅是一个数学事实，仅此而已，但这些人忽略了数学本质中一些重要的东西。

素数的史前史

在早期，1 并不被普遍认为是数字。对于毕达哥拉斯学派来说，第一个计数数字是 2；1 是构成所有数字（2, 3 等）的单元。所以 1 不是一个数字，当然也不是一个素数。尽管欧几里得不是毕达哥拉斯学派的成员，但他同意第一个素数是 2。

但希腊思想并不统一。例如，柏拉图的侄子斯珀西波斯认为 1 不仅是一个数字，而且是一个素数。因此，关于 1 的地位的争议有着令人尊敬的渊源。

将 1 称为素数的做法也不能自满地归入古代、早已被抛弃的错误的垃圾堆中。伟大的莱昂哈德·欧拉，18 世纪最杰出的数学家，在他的通信中将 1 视为与数论学家克里斯蒂安·哥德巴赫相同的素数。即使在 20 世纪，用英语写成的第一部伟大的数论著作的合著者，数学家 G. H. 哈代也在他的早期著作中将 1 归类为素数。

欧拉和哈代是愚蠢还是粗心？远非如此。他们正在做优秀的数学家一直在做的事情：对术语保持灵活的态度，并牢记有时只有在你尝试过几种变体后，定义事物的正确方法才会变得清晰。

因此，如果你的态度是“是啊，为什么_这_重要？”，那么你提出的问题正是欧拉和哈代会赞同的——他们有时会将 1 包含在素数中，有时则不会。毕竟，数字 1 与素数有很多共同之处。1

但是你不应该认为在现代，人们对 1 的地位存在分歧；通过普遍共识，1 不是素数。2 这是否意味着我们被迫将 1 归类为合数，即像 4、6、8 和 9 这样的可分解数？还是有第三种可能性？

最孤独的数字

在他的 1914 年素数表的前言中，数论学家 D. N. 莱梅尔通过证明他决定将 1 包含在表中是合理的，他承认“数字 1 肯定不像数字 6 那样是合数”，但坚持认为“如果将它排除在素数列表之外，就有必要仅为这个数字创建一个特定的类别。”对于莱梅尔来说，这足以将 1 列为素数；将 1 单独留下，称其既不是素数也不是合数，似乎不是一个选项。

1 肯定是一个特殊的数字，原因有很多。数字 1 的一个独特的属性是它是它自己的倒数。没有其他正整数具有此属性。当我们扩大我们的数字系统以包括零和负整数时，1 获得了一个伙伴，即它的负数，数字 -1，它像 1 一样，是它自己的倒数。进一步扩大我们的范围以包括有理数和实数并没有给我们带来具有此属性的新数字。但是，当我们再次扩大到复数时，虽然我们没有得到任何是其自身倒数的新数字，但我们得到了两个同时是彼此的负数_和_彼此的倒数的数字：i 和 - i。

正如整数形成实数的一个有趣的子系统一样，Gaussian integers——形式为 a + bi 的复数，其中 a 和 b 是普通整数——形成复数的一个有趣的子系统。高斯整数总体上形成了数学家所说的integral domain（为简洁起见，在本文中我将使用较短的术语“domain”），在其中可以安全地添加、减去或乘以数字而不会离开domain。请注意，我将除法从安全操作列表中省略了；在一个domain中，你通常不能将一个元素除以另一个元素。但是，当domain的一个特殊元素——称它为 u ——具有 u 的倒数也属于该domain的属性时，则domain的_每个_元素都可以被 u 除：只需将该元素乘以 u 的倒数即可。在整数domain中，唯一的此类元素是 u = 1 和 u = -1，但在高斯整数domain中，有四个：1、-1、i 和 - i。

一个更有趣的例子是由所有形式为 a + b sqrt(2) 的数字组成的domain，其中 a 和 b 再次是普通整数。在这个domain中，有_无限_多个倒数属于同一domain的数字：例如，1 + sqrt(2) 和 -1 + sqrt(2) 是彼此的倒数，3 + 2 sqrt(2) 和 3 - 2 sqrt(2) 是彼此的倒数，等等。

对这种数字系统的研究，由卡尔·弗里德里希·高斯开创，现在本身就是一个蓬勃发展的专业，被称为代数数论。在这个主题中，domain中倒数也属于该domain的数字被称为_units_。1 不再孤独；它有了一个时髦的俱乐部可以加入。3

因此，本文开头的那些毕达哥拉斯学派已经掌握了一些东西。从现代的角度来看，他们有理由挑选出 1 进行特殊处理，并坚持我们尊重 1 作为一个单元；但是，他们认为作为一个单元与作为一个数字是不相容的，而我们则认为 1 既是一个数字又是一个单元。

避免尴尬

我怀疑我怀疑莱梅尔坚持将 1 称为素数的一个原因是词源学的。希腊人称素数为 protoi arithmoi 或“第一个数字”，拉丁语单词“primus”，我们从中派生出单词“prime”和“primary”，具有相似的含义。我们计数时如何说 1 是第一个数字，却不将其算作第一个数字之一呢？

但即使在莱梅尔将 1 归类为素数之前，大多数现代数学家已经悄悄地决定它不值得这个称号。不是因为任何一件事，而是因为将 1 视为素数的许多不同方式会导致尴尬。

一个典型的例子是埃拉托斯特尼筛法，莱梅尔在他的同一页上提到了它，作为他将 1 称为素数的论点。莱梅尔写道：“埃拉托斯特尼是欧几里得的同时代人，是一位‘筛子’过程的发明者，用于从自然数系列中删除合数。他首先按顺序写下数字，然后通过擦除 2 之后的每隔一个数字来删除 2 的倍数。然后他擦除 3 之后的每三个数字，然后是 5 之后的每五个数字，依此类推。通过这种方式，通过拒绝连续未擦除数字的倍数，他获得了素数系列。”

让我们分解一下。首先我会擦除，或者更确切地说，阴影化，1 到 25 之间的 2 的倍数（当然不包括 2 本身）：

然后我会摆脱 3 的倍数：

然后是 5 的倍数：

等等。4

但是等等。如果我们应该删除每个连续的尚未删除的数字的倍数，那么我们不应该通过删除 1 的所有倍数来开始游戏吗？当然，那么游戏将很快结束，并且 1 将被宣布为唯一的素数。

当然，这不是筛子的工作方式。我们以不同于 2、3、5 等的方式处理 1；具体来说，我们不会划掉它的所有倍数。如果我们坚持无论如何都称它为素数，我们必须承认它是一个非常特殊的素数。

另一个典型的例子是算术基本定理，也称为唯一分解定理。5 每个合数都可以写成素数的乘积，而且，只有一种方法可以做到这一点，如果我们同意忽略因子出现的顺序，例如，2 × 3 和 3 × 2 算作 6 的相同因子分解。6 如果 1 被归类为素数，那么将有不止一种方法——事实上，有无数种方法——将 6 写成素数的乘积：2×3 和 1×2×3 和 1×1×2×3 等等。

当然，一个热心的 1 是素数的顽固分子可以坚守阵地并重新措辞算术基本定理以允许这样做，因此仅在因子的排序_或_在包含不同数量的等于 1 的因子方面不同的两个因子分解仍然算作相同。然后，包括 1 作为素数的偏离素数定义仍然允许他制定唯一分解定理，但代价是一些尴尬。

将定理放在首位

我不知道有任何现代 1 是素数的顽固分子，但我认为克里斯蒂安·哥德巴赫，我之前提到的欧拉的通信者，会比他的大多数同伴更长时间地坚持这个想法。哥德巴赫现在主要以提出著名的且尚未证明的猜想而闻名，即大于 2 的每个偶数都可以写成两个素数的和。或者至少，这就是我们现在措辞的方式。哥德巴赫本人推测_每个_偶数（意味着，每个偶数正整数）都可以写成两个素数的和，包括偶数 2，因为 2 可以写成 1+1，并且对他来说，1 是素数。

如果我和哥德巴赫在聚会上，并且我们正在争论“素数”的正确定义，我将被迫承认他的猜想使用他更具包容性的单词定义更容易陈述，但我会告诉他，他的猜想是将 1 视为素数使事情更简单的少数情况之一；通常，它使事情变得更复杂。“你不可能知道这一点，”我告诉他，“因为使_不_称 1 为素数更自然的定理在他做他的工作时仍然存在于未来。”

“什么定理？”哥德巴赫问道，我继续告诉他，特别高兴地告诉他我最喜欢的定理之一，高斯的二次互反律，一个美丽的定理，它将 mod p 算术与 mod q 算术相关联，只要 p 和 q 是两个不同的奇素数，即两个大于 2 的不同素数。7 在告诉哥德巴赫这个定理背后的故事时，我小心地使用短语“大于 1 的奇素数”来谈论我（更简单地）称之为“奇素数”的事物，以免混淆他。

此时，格拉萨的尼科马库斯也在同一个聚会上，并且一直在偷听我们的谈话，他插话说：“我不禁听到了你关于高斯定理的最后一点谈话，我被你使用的短语‘奇素数’所震惊。你肯定知道这个短语是多余的；只有奇数才能是素数！” 历史上的尼科马库斯将素数定义为不能表示为两个较小奇数乘积的奇数，所以对他来说，2 不是素数。我虚构的尼科马库斯认为我迟钝，因为我没有注意到，即使我指责哥德巴赫对“素数”一词的定义过于慷慨，我也犯了同样的错误，因为我没有注意到 2 与_真正_素数的区别。哥德巴赫说第一个素数是 1，我说第一个素数是 2，但尼科马库斯说第一个素数是 3，他以二次互反律作为确凿的证据：“如果将数字 2 单独处理，则该定律更容易陈述，并且你自己也称该定律为数论中最美丽的命题；所以你必须承认 2 不是真正的素数！”

关于我们各自定义的优点的激烈争论随之而来，但重要的是要注意这场争论中_没有_争议的内容：我们三个人都同意数学的_事实_，例如分解成素数的唯一性或二次互反律。只有我们_谈论_这些事实的方式才是问题所在。人们可以使用不同的词来描述相同的现实这一事实与哥德巴赫实际上会使用德语，而尼科马库斯会使用希腊语来讨论我一直在用英语谈论的事情这一事实并没有什么不同。

数学中的定义不是永恒的真理。它们是人类的选择，受我们对连贯性的需求和对美的渴望的影响，我们作为一个物种可以选择我们如何定义单词。当然，我们应该在定义一个单词之前认真思考，并且在试图连根拔起一个已建立的定义之前更加努力地思考。但我们永远不应忘记，人类首先提出了这些词语。

数学老师强调言语的精确性并坚持遵守关于单词含义的共同约定是很自然的。但是，老师们的挑剔可能产生一个意想不到的后果，那就是误以为数学术语的定义是来自上天的启示。

这种误解向学生们隐瞒了一些重要的事情：尽管我们需要约定才能进行交流，但数学真理比仅仅是约定更深刻。二次互反律所断言的数字事实对于克里斯蒂安·哥德巴赫和卡尔·弗里德里希·高斯和格拉萨的尼科马库斯以及你和我来说都是同样真实的，即使我们在谈论它们时最初可能会使用不同的“素数”一词的定义。

那么，1 是否为素数重要吗？也许不重要。但它不重要的具体_方式_非常重要。

本文是我正在撰写的一本书的第 1 章（“无限楼梯”）的补充，暂定名为“数字可以是什么？：加法和乘法的更进一步、更奇怪的冒险”。如果您认为这听起来很酷并且想帮助我改进这本书，请查看 http://jamespropp.org/readers.pdf。与往常一样，请随时在 Mathematical Enchantments WordPress 网站上提交对本文的评论！

注释 #1. 1“像”素数的一种方式是它符合欧几里得引理，该原则断言，如果 p 是一个素数，那么每当两个整数的乘积可以被 p 整除时，这两个数字中的一个或两个都必须可以被 p 整除。数字 2、3、5、7、... 都具有此属性，而非素数 4、6、8、9、... 都不具有此属性。1 站在这种二分法的哪一边？好吧，命题“每当两个整数的乘积可以被 1 整除时，这两个数字中的一个或两个都必须可以被 1 整除”就像“如果 2+2 = 4 那么 2+2 = 4”一样真实——这不是一个有趣的断言，但它肯定不是错误的。因此，欧几里得引理似乎建议我们将 1 与素数归为一类。 #2. 我有一个初中同学，他在小学时被教导说“素数是只能被 1 和它本身整除的任何正整数”，这似乎使 1 成为素数，并且他在初中时得知，不，1 毕竟不是素数，这让他大吃一惊。他觉得他被早期的老师误导了，但我们的初中老师坚持认为他没有，并通过一种类似塔木德的推理来解释说，短语“1 和它本身”中的单词“和”要求单词“1”和“它本身”指的是不同的数字。我认为这是不真诚的；更重要的是，它让学生们在代数中犯一个基本的概念性错误，即认为当有两个或多个变量存在时，它们不能彼此相等，因为“如果 x 和 y 指的是同一个数字，我们就不会给它们不同的名称。”最好从一开始就教孩子们，数学家将素数定义为_大于 1_ 的数字，除了 1 和它本身之外没有其他（正）除数。 #3. 在 a + b sqrt(2) 形式的数字中，单位是满足 a 2 − 2 b 2 = ±1 的那些。这有时被称为Pell 方程，以纪念 17 世纪的数学家约翰·佩尔，但自毕达哥拉斯时代以来，它一直引起数学家的兴趣。印度数学家婆罗摩笈多发现了一种组合两个旧解决方案以获得一个新解决方案的方法；例如，通过将 (a ,b) = (3,2) 与 (a ,b) = (7,5) 组合，婆罗摩笈多推导出了解决方案 (a ,b) = (41,29)。婆罗摩笈多可能不知道这一点，但他组合解决方案的方式是一种伪装的代数数字乘法方式：3 + 2 sqrt(2) 乘以 7 + 5 sqrt(2) 等于 41 + 29 sqrt(2)。婆罗摩笈多方法的成果源于两个单位的乘积始终是一个单位的事实。 #4. 我们的筛选程序比你想象的要快得多；所有高达 25 的合数现在都已被筛选出来，因此 2、3、5、7、11、13、17、19 和 23 是高达 25 的所有素数。 #5. 虽然它通常归功于高斯，但该定理是由伊斯兰数学家卡迈勒·阿尔丁·阿尔·法里西在 1300 年左右首次陈述并可能证明的。 #6：你可能认为素因子分解的唯一性是显而易见的。如果是这样，我请你检查一下 209 × 221 是否等于 187 × 247，然后告诉我为什么你如此确定这四个三位数不是素数。或者，假设我们将自己限制为仅包含偶数整数的数字系统；在该受限制的数字系统中，2 × 18 等于 6 × 6，但我挑战你将 2、6 或 18 分解为两个偶数整数的乘积。 #7：如果我们定义特殊符号 (p |q) 在 mod q 算术中当 p 有一个平方根时为 +1，当 p 没有平方根时为 -1（当 p = q 时为 0，如果你要挑剔的话），那么该定律可以用等式概括 (p |q) (q |p) = (−1)(p −1)(q −1)/4

参考 Chris K. Caldwell 和 Yeng Xiong，什么是最小的素数？ MathOverflow，“1 作为素数的职业何时开始，何时结束？“。 Wikipedia，Prime number。