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研究文章 | 2025年4月15日

利用物理模拟寻找十瓶制保龄球运动中的瞄准策略

S. S. M. Ji 0000-0001-8496-1017 ; S. S. M. Ji (概念化，方法论，软件，写作 – 原始草稿) 1 Mechanical and Aerospace Engineering, Princeton University , Princeton, New Jersey 08544, USA S. Yang 0000-0003-0290-5412 ; S. Yang (概念化，形式分析，项目管理，写作 – 原始草稿，写作 – 审阅和编辑) 2 Department of Nuclear Science and Engineering, Massachusetts Institute of Technology , Cambridge, Massachusetts 02139, USA W. Dominguez; W. Dominguez (概念化，监督，写作 – 原始草稿，写作 – 审阅和编辑) 3 Department of Physics and Astronomy, The University of New Mexico , Albuquerque, New Mexico 87106, USA C. G. Hooper 0000-0002-3903-4318 ; C. G. Hooper a) (概念化，形式分析，项目管理，写作 – 原始草稿，写作 – 审阅和编辑) 4 Sports Technology Institute, Wolfson School of Mechanical, Electrical, and Manufacturing Engineering, Loughborough University , Leicestershire, United Kingdom a)通讯作者：c.hooper@lboro.ac.uk C. S. Bester 0000-0002-8066-694X C. S. Bester (概念化，监督，写作 – 原始草稿，写作 – 审阅和编辑) 5 Department of Physics and Astronomy, Swarthmore College , Swarthmore, Pennsylvania 19081, USA

演示了一种寻找保龄球手在球道上理想目标位置的新方法。为了模拟保龄球的行为，利用旋转刚体的 Euler 方程推导出一个由六个耦合微分方程组成的系统。方程的数值解显示了球在球道上的路径，演示了球的运动阶段，并最终用于输出一个图，该图显示了对于典型的有竞争力的保龄球手而言，导致全中的击球轨迹的最佳初始条件。当将保龄球手建模为不完美状态，并且在击球轨迹中包含一些差异时，结果表明，由于油膜分布导致摩擦表面不均匀而产生的“失误空间”，某些瞄准策略会导致更高的全中率。

主题： 刚体动力学, 转动动力学, 计算机模拟, 数学建模

I. 介绍

十瓶制保龄球仍然是美国最受欢迎的运动之一，截至2017年，有超过 45 × 106 人定期参与。1 每年在全国比赛中都有数百万美元的奖金，因此人们进行了大量研究，以了解球员如何获得更高的分数。由于计算的复杂性和可能影响球的轨迹的大量变量，大多数研究都集中于来自经验数据的统计分析，而不是理论建模。例如，2018年 US Bowling Congress (USBC) Equipment Specifications Report 使用了“37 名每分钟旋转数 (RPM) 范围广泛的保龄球手”，而不是计算机模型2，并对专业保龄球锦标赛中的球跟踪数据进行了分析。3

由于涉及许多参数，因此关于保龄球物理定量分析的文献很少，但 Fröhlich、Hopkins 和 Huston 在过去几十年中尝试了这方面的工作。4–6 Fröhlich 和 Huston 创建了数学模型，其中考虑了保龄球内配重块的影响，并为一小部分参数值提供了模拟结果，包括改变回转半径 (RG)、重心 (CG) 偏离球的几何中心以及初始角速度的影响。这些模拟演示了改变某些变量的定性影响，但仅假设了因应用于球道的油的分布而产生的简单摩擦曲线，这被称为油膜分布。

保龄球手通常希望在球道上的某个区域进行比赛，这样他们的预期目标周围会有一个小区域，从而使他们的球仍然以期望的角度击中指定区域的头瓶，从而使全中率保持较高水平。这将允许他们的击球中的轻微不准确不会在分数方面受到太大惩罚。结果表明，球击中头瓶的最佳位置是从中心偏移约 6 厘米，球入射到瓶子的最佳入射角约为 6°。7

本文旨在通过模拟来演示保龄球手可以实施的目标策略，该模拟对大量可能的初始条件进行采样，并探讨基于当前联赛和锦标赛中使用的油膜分布的实际摩擦曲线的影响。8,9 然后，该程序可以使用实验数据预测数学模型给出的轨迹结果，从而为用户提供最佳的起始位置，包括球速、轴向旋转、轴向倾斜和角速度等个人保龄球数据。

II. 方法

A. 运动方程

本节中推导的运动方程使用固定到球上的旋转参考系描述了刚体旋转。该推导采用通过 Euler 方程的方法，其中 Euler 方程仅取决于主惯性矩，而不取决于惯性张量中的非对角项。这一点很重要，因为固定到空间的参考系的完整惯性张量无法仅根据发布的回转半径 (RG) 和每个球的微分值轻松确定。Hopkins 先前推导的理论假设球是完全均匀的球体5，而 Fröhlich 的理论则需要了解保龄球的惯性张量中的非对角项。4 为了简化计算，本研究假设 CG 偏移（通常距球的几何中心约 1 毫米）为零。

忽略空气阻力，球和球道之间相互作用产生的唯一力位于它们的接触点。因此，作用在球上的摩擦力的方向完全取决于接触面速度 vb⃗，它具有以下分量：

vxb=vx−rωy, (1)

和

vyb=vy+rωx, (2)

分别在 x 和 y 方向上，如图 Fig. 1 所示。因此，可以使用以下公式计算球与球道接触点的表面速度：

vb=(vxb)2+(vyb)2=(vx−rωy)2+(vy+rωx)2. (3)

x̂ 和 ŷ 方向上的摩擦力由下式给出

Fx=mv̇x=−μmgvxbvb, (4)

和

Fy=mv̇y=−μmgvybvb, (5)

分别。然后，摩擦力对球施加一个转矩，由下式给出

τ⃗=r⃗×F⃗=00−r×mv̇xmv̇y0=rmv̇y−rmv̇x0. (6)

我们假设球在单点接触表面，因此在 z 方向上施加零转矩。将这些转矩方程与刚体的 Euler 方程结合起来，在沿球配重块主轴方向定向的框架中，我们有

τx′=Ix′ω̇x′−Iy′−Iz′ωy′ωz′, (7)

τy′=Iy′ω̇y′−Iz′−Ix′ωz′ωx′, (8)

τz′=Iz′ω̇z′−Ix′−Iy′ωx′ωy′. (9)

为了使方程 (7)–(9) 与球道的固定轴对齐，以便它们与方程 (4) 和 (5) 处于同一参考系中，必须通过 ϕ 旋转它们，因为主惯性矩是在球的参考系中测量的（参见 Fig. 2)。然后，我们得到 v x 、v y 、ω x 、ω y 、ω z 的五个一阶耦合微分方程系统，如下所示

vẋ=−μgvx−rωy(vx−rωy)2+(vy+rωx)2, (10)

vẏ=−μgvy+rωx(vx−rωy)2+(vy+rωx)2, (11)

ωẋcos⁡ϕ+ωẏsin⁡ϕ=1Ix′mr(v̇y⁡cos⁡ϕ+v̇x⁡sin⁡ϕ)+(Iy′−Iz′)(−ωx⁡sin⁡ϕ+ωy⁡cos⁡ϕ)ωz, (12)

−ωẋsin⁡ϕ+ωẏcos⁡ϕ=1Iy′mr(−v̇y⁡sin⁡ϕ−v̇x⁡cos⁡ϕ)+(Iz′−Ix′)(ωx⁡cos⁡ϕ+ωy⁡sin⁡ϕ)ωz, (13)

ω̇z=Ix′−Iy′Iz(ωx⁡cos⁡ϕ+ωy⁡sin⁡ϕ)(−ωx⁡sin⁡ϕ+ωy⁡cos⁡ϕ). (14)

由于配重块的方向也会随着球的旋转而变化，因此需要第六个 ϕ 方程，由下式给出

ϕ̇=ddtarctanωyωx=ωẏωx−ωẋωyωy2+ωx2 (15)

才能完成方程组。关键参数的描述在 Table I 中给出。

FIG. 1.

球和球道之间沿 x̂ 和 ŷ 方向的表面相互作用。

FIG. 2.

轴定义相对于球道和保龄球。x̂ 轴以板为单位测量。USBC 批准的保龄球道有 39 个板，每个板的测量值约为 2.73 厘米或 1.07 英寸。y ′ 轴与配重块的最小惯性矩轴对齐。

TABLE I. 用于推导球轨迹的参数列表。 变量. | 描述. ---|--- v 0, θ 0 | 球的初始速度和发射角。发射角 θ 0 相对于 y 轴测量，通常范围为 0° 到 5° ω x ,0, ω y ,0, ω z ,0 | 施加在球上的初始角速度。熟练的保龄球手通常产生约 300–400 rpm，4 而一些使用双手风格的保龄球手能够产生约 600 rpm。旋转方向取决于保龄球风格，通常使用“正轴点”的测量值来确定 I x ′, I y ′, I z ′ | 主惯性矩，在旋转框架中测量，以便沿 y ′ 轴发生最低惯性。这些值因保龄球而异，可以使用制造商给出的三个量来推导，即回转半径 (RG)、差值 (Diff.) 和中间差值 (Int. Diff.)。Iy′=mRG2⁠, Ix′=mRG + Diff2⁠, 和 Iz′=mRG + Diff + Int. Diff2 μ | 球的表面和球道之间的动摩擦系数 ϕ | y ′ 轴和球道的固定 ŷ 轴之间的角度（参见 Fig. 1) x 0, y 0 | 球的初始位置。x 0 坐标以板为单位测量，y 0 坐标以英尺为单位测量，如图 Fig. 2 所示 m | 保龄球的质量。大多数联赛和专业保龄球手使用的质量在 6.3 到 7.3 公斤（14 到 16 磅）之间 r | 保龄球的半径。一个典型的球的半径为 10.85 厘米 变量. | 描述. ---|--- v 0, θ 0 | 球的初始速度和发射角。发射角 θ 0 相对于 y 轴测量，通常范围为 0° 到 5° ω x ,0, ω y ,0, ω z ,0 | 施加在球上的初始角速度。熟练的保龄球手通常产生约 300–400 rpm，4 而一些使用双手风格的保龄球手能够产生约 600 rpm。旋转方向取决于保龄球风格，通常使用“正轴点”的测量值来确定 I x ′, I y ′, I z ′ | 主惯性矩，在旋转框架中测量，以便沿 y ′ 轴发生最低惯性。这些值因保龄球而异，可以使用制造商给出的三个量来推导，即回转半径 (RG)、差值 (Diff.) 和中间差值 (Int. Diff.)。Iy′=mRG2⁠, Ix′=mRG + Diff2⁠, 和 Iz′=mRG + Diff + Int. Diff2 μ | 球的表面和球道之间的动摩擦系数 ϕ | y ′ 轴和球道的固定 ŷ 轴之间的角度（参见 Fig. 1) x 0, y 0 | 球的初始位置。x 0 坐标以板为单位测量，y 0 坐标以英尺为单位测量，如图 Fig. 2 所示 m | 保龄球的质量。大多数联赛和专业保龄球手使用的质量在 6.3 到 7.3 公斤（14 到 16 磅）之间 r | 保龄球的半径。一个典型的球的半径为 10.85 厘米

B. 油膜分布和全中机会

在竞技保龄球中，油被应用于球道上，其模式专门设计用于创建具有挑战性的摩擦曲线，从而留下不同的误差范围。8,9 Fig. 3 说明了示例油膜分布。在比赛期间，保龄球手必须对击球特征（例如球的选择、球速以及在球道上的哪个位置进行比赛）进行有根据的猜测，才能最大限度地提高击全中的机会。

FIG. 3.

典型的比赛油膜分布示例。长度小于 38 英尺（11.6 米）的模式被认为是“短”，长度大于 43 英尺（13.1 米）的模式被认为是“长”。平面模式的摩擦系数是根据 Banerjee 和 McPhee 中给出的值估计的。10 35 英尺（10.7 米）和 45 英尺（13.7 米）的模式分别是 PBA Cheetah 和 Shark 模式的粗略近似值，其 μ 值基于铺设在球道上的油的总量。

影响全中机会的两个最重要因素是进入位置和进入角度。进入位置是球与球瓶碰撞时的 x̂ 坐标（ŷ≈60 英尺）。进入角度是球轨迹相对于 ŷ≈60 英尺处的垂直方向所成的角度。理想的进入位置是从球道中心偏移 4 到 12 厘米（1.57 到 4.72 英寸或 1.5 到 4.4 个板），通常被保龄球手称为“口袋”。USBC 于 2009 年进行的一项经验研究提供了各种进入角度和位置的全中率。7 这些数据已纳入模拟中，从而可以根据球的轨迹计算得分。

C. 不完美保龄球手的失误空间

在现实生活中，没有保龄球手可以 100% 准确地击中目标。最好的专业人士可以达到距预期初始发射角约 0.1° 的范围内，这可能对应于球道上更远几厘米的差异。如图 Fig. 4 所示，这种变化会显着影响全中的机会。在本研究中，使用起始角度的高斯分布对不准确性进行建模，标准偏差等于 0.1°。

FIG. 4.

2°、4° 和 6° 进入角度的全中率图，作为进入位置的函数。经 USBC Bowl Expo 2009 演示文稿7 许可转载。总体全中率在 6° 时最高，在 2° 时最低。

III. 结果与讨论

在满足以下初始条件下，求解运动方程，这些初始条件对于有竞争力的保龄球手来说是典型的。假设保龄球手在犯规线处释放球（y 0 = 0 m）；他们在释放球时赋予球的角速度为 416 rpm，即绕一个与 x̂ 轴对齐 45° 且与 x̂−ŷ 平面对齐 13.3° 的轴旋转，这使得 ω x ,0 = −30 rad/s，ω y ,0 = −30 rad/s 和 ω z ,0 = 10 rad/s；球的初始速度为 v 0 = 8 m/s（17.9 mph 或 28.8 kph）。改变参数 x 0 和 θ 0 以找到不同的全中结果。保龄球本身的属性如下：RG = 6.35 cm，Diff. = 0.1 cm，Int. Diff. = 0 c