Digital illustration of lines representing a river or sea flowing over and around pebbles 数学家提出他们已经找到了统一三种解释流体运动的物理理论的方法。 Floriana/Getty Images

当在世的最伟大的数学家揭示了下一个世纪的研究愿景时，数学界会注意到。1900年在巴黎索邦大学举行的国际数学家大会上，就发生了这样的事情。传奇数学家David Hilbert提出了10个未解决的问题，作为20世纪的雄心勃勃的指南。 后来他扩展了他的清单，包括23个问题，它们在过去125年中对数学思想的影响怎么强调都不过分。

Hilbert的第六个问题是最崇高的。 他呼吁对物理学进行“公理化”，或者确定其所有理论背后最少的数学假设。 广义上讲，数学物理学家是否能够知道他们是否解决了这一挑战尚不清楚。 然而，Hilbert提到了一些具体的子目标，此后研究人员将他的愿景提炼为解决该问题的具体步骤。

今年三月，芝加哥大学的Yu Deng，密歇根大学的Zaher Hani和Xiao Ma在预印本服务器arXiv.org上发表了一篇新论文，声称已经攻克了其中一个目标。 如果他们的工作经受住审查，它将标志着物理学在数学基础上迈出的重要一步，并可能为其他物理领域类似的突破打开大门。

在论文中，研究人员提出他们已经找到了统一三种解释流体运动的物理理论的方法。 这些理论涵盖了从飞机设计到天气预测的各种工程应用——但直到现在，它们都建立在尚未经过严格证明的假设之上。 这一突破不会改变理论本身，但它在数学上证明了它们的合理性，并增强了我们对这些方程以我们认为的方式工作的信心。

每种理论在放大流动液体或气体方面都有所不同。 在微观层面上，流体由粒子组成——小的台球四处弹跳并偶尔碰撞——而牛顿运动定律非常适合描述它们的轨迹。

但是，当您放大以考虑大量粒子的集体行为时，即所谓的中观层面，不再方便单独建模每个粒子。 1872年，奥地利理论物理学家Ludwig Boltzmann 在开发出后来被称为Boltzmann方程时解决了这个问题。 该方程没有跟踪每个粒子的行为，而是考虑了_典型_粒子的_可能_行为。 这种统计视角掩盖了低层细节，而倾向于更高层的趋势。 该方程允许物理学家计算流体中动量和热导率等量的演变，而无需费力地考虑每次微观碰撞。

我们的编辑精选

进一步放大，你会发现自己处于宏观世界。 在这里，我们不将流体视为离散粒子的集合，而是将其视为单一的连续物质。 在这个分析层面上，另一组方程——Euler和Navier-Stokes方程——准确地描述了流体的运动方式以及它们的物理性质如何相互关联，而无需借助于任何粒子。

这三个分析层面都描述了相同的底层现实——流体的流动方式。 原则上，每个理论都应该建立在其层次结构中较低的理论之上：宏观层面的Euler和Navier-Stokes方程应该从中间层面的Boltzmann方程逻辑地推导出来，而Boltzmann方程又应该从微观层面的牛顿运动定律逻辑地推导出来。 这就是Hilbert在他的第六个问题中呼吁的“公理化”，并且他在对该问题的描述中明确提到了Boltzmann在气体方面的工作。 我们期望完整的物理学理论遵循数学规则，这些规则可以解释从微观到宏观层面的现象。 如果科学家未能弥合这一差距，那么这可能表明我们对现有理论的误解。

统一流体动力学的三个视角对该领域提出了顽固的挑战，但Deng，Hani和Ma可能刚刚做到了这一点。 他们的成就是建立在数十年渐进式进步的基础上的。 然而，先前的进展都带有一些星号； 例如，这些推导仅在短时间内、在真空中或在其他简化条件下才有效。

新的证明大致包括三个步骤：从中观理论推导出宏观理论； 从微观理论推导出中观理论； 然后将它们拼接在一起，从而从微观定律中推导出宏观定律。

第一步以前已经理解，甚至Hilbert本人也为此做出了贡献。 另一方面，从中观推导出微观在数学上更具挑战性。 请记住，中观设置是关于大量粒子的集体行为。 因此，Deng，Hani和Ma研究了当碰撞和反弹的单个粒子数量增长到无穷大并且它们的大小缩小到零时，牛顿方程会发生什么。 他们证明，当您将牛顿方程扩展到这些极端情况时，系统的统计行为——或者流体中“典型”粒子的可能行为——会收敛到Boltzmann方程的解。 这一步通过从微观数学的极值行为中推导出中观数学来形成桥梁。

这一步的主要障碍涉及方程建模的时间长度。 人们已经知道如何在很短的时间尺度上从牛顿定律推导出Boltzmann方程，但这对于Hilbert的计划来说是不够的，因为现实世界的流体可以流动任意的时间。 随着时间的推移，复杂性会增加：发生更多的碰撞，并且粒子交互的整个历史可能会影响其当前行为。 作者通过仔细计算粒子的历史对其现在的影响程度，并利用新的数学技术来论证先前碰撞的累积影响仍然很小，从而克服了这一点。

将他们对长时间尺度的突破与先前从Boltzmann方程推导出Euler和Navier-Stokes方程的工作结合在一起，统一了流体动力学的三个理论。 这一发现证明了基于上下文中最有用的东西来采取不同流体视角的合理性，因为它们在数学上收敛于描述一种现实的终极理论。 假设该证明是正确的，那么它在Hilbert的计划中开辟了新天地。 我们只能希望，凭借这种新的方法，Hilbert挑战的堤坝将会破裂，并且更多的物理学将向下游流动。