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数学家利用有趣的数列解决了代数中最古老的问题

作者：University of New South Wales Norman Wildberger 在他的笔记本电脑前。来源：UNSW Sydney

UNSW Sydney 的一位数学家发现了一种新方法来解决代数中最古老的挑战——求解高阶多项式方程。

多项式是包含变量的方程，变量被提升到幂，例如二次多项式：1 + 4x – 3x2 = 0。

这些方程是数学和科学的基础，它们具有广泛的应用，例如帮助描述行星的运动或编写计算机程序。

然而，历史上已经证明，求解“高阶”多项式方程（其中 x 的幂为 5 或更高）的一般方法是难以捉摸的。

现在，UNSW 名誉教授 Norman Wildberger 揭示了一种使用新颖数列的新方法，该方法在 The American Mathematical Monthly journal 中与计算机科学家 Dr. Dean Rubine 共同概述。

Prof. Wildberger 说：“我们的解决方案重新打开了数学史中一本以前关闭的书。”

多项式问题

早在公元前 1800 年，由于巴比伦人的“配方法”，就已经出现了二次多项式的解，这种方法演变成了许多高中数学学生熟悉的二次公式。这种使用称为“根式”的数的根的方法后来在 16 世纪被扩展到求解三次和四次多项式。

然后，在 1832 年，法国数学家 Évariste Galois 展示了用于解决低阶多项式的方法背后的数学对称性对于五次及更高次多项式变得不可能。因此，他认为，没有通用公式可以解决它们。

此后，已经开发了高阶多项式的近似解，并广泛应用于各种应用中，但 Prof. Wildberger 说这些解不属于纯代数。

新方法背后的激进拒绝

他说，问题在于经典公式对三次方根或四次方根（即根式）的使用。

根式通常代表无理数，它们是无限延伸而不重复且无法写成简单分数的小数。例如，7 的立方根的答案，3√7 = 1.9129118…无限延伸。

Prof. Wildberger 说，这意味着永远无法完全计算出真正的答案，因为“您将需要无限的工作量和一个比宇宙更大的硬盘驱动器。”

因此，当我们假设公式中存在 3√7 “存在”时，我们假设这个无限的、永无止境的小数在某种程度上是一个完整的对象。

这就是 Prof. Wildberger 说他“不相信无理数”的原因。

他说，无理数依赖于不精确的无穷大概念，并导致数学中的逻辑问题。

Prof. Wildberger 对根式的拒绝激发了他对数学的最著名贡献，即有理三角学和通用双曲几何。这两种方法都依赖于数学函数，如平方、加法或乘法，而不是无理数、根式或正弦和余弦等函数。

他求解多项式的新方法也避免了根式和无理数，而是依赖于称为“幂级数”的多项式的特殊扩展，幂级数可以具有无限数量的项，其中包含 x 的幂。

Prof. Wildberger 说，通过截断幂级数，他们能够提取近似的数值答案来检查该方法是否有效。

“我们测试的方程之一是 Wallis 在 17 世纪使用的一个著名的三次方程，用于演示 Newton 的方法。我们的解决方案效果非常好，”他说。

求解通用解的新几何

然而，Prof. Wildberger 说，该方法的证明最终是基于数学逻辑的。

他的方法使用代表复杂几何关系的新型数列。这些序列属于组合数学，组合数学是处理元素集中数字模式的数学分支。

最著名的组合数学序列，称为 Catalan 数，描述了将多边形（即任何具有三个或更多边的形状）剖析为三角形的方式的数量。

这些数字具有重要的实际应用，包括计算机算法、数据结构设计和博弈论。它们甚至出现在生物学中，用于帮助计算 RNA 分子的可能折叠模式。它们可以使用简单的二次多项式来计算。

“人们认为 Catalan 数与二次方程密切相关。我们的创新在于，如果我们想求解更高的方程，我们应该寻找 Catalan 数的更高阶类似物。”

Prof. Wildberger 的工作将这些 Catalan 数从一维扩展到基于多边形可以使用非相交线划分的方式的数量的多维数组。

“我们已经找到了这些扩展，并展示了它们如何在逻辑上导致多项式方程的通用解。

“这是对代数基本章节的重大修订。”

他说，即使是五次方程（五次多项式）现在也有了解决方案。

他说，除了理论兴趣之外，该方法还具有实际应用前景，可以创建使用代数级数而不是根式来求解方程的计算机程序。

“这是许多应用数学的核心计算，因此这是改进广泛领域算法的机会。”

Geode 未开发的方面

Prof Wildberger 说，他和 Dr. Rubine 称之为“Geode”的新型数字数组也具有巨大的进一步研究潜力。

“我们引入了这个全新的数字数组，Geode，它扩展了经典的 Catalan 数，并且似乎是它们的基础。

“我们预计对这个新的 Geode 数组的研究将提出许多新问题，并让组合数学家忙碌多年。

“真的，还有很多其他的可能性。这仅仅是个开始。”

更多信息： N. J. Wildberger 等人，《多项式方程的超 Catalan 级数解和 Geode》，The American Mathematical Monthly (2025)。 DOI: 10.1080/00029890.2025.2460966 由 University of New South Wales 提供