新的'Superdiffusion'证明探索湍流的神秘数学

作者：Joseph Howlett 2025年5月16日

湍流是一种出了名的难以研究的现象。数学家们现在开始在最小的尺度上解开它。

引言

作者：Joseph Howlett 特约撰稿人 2025年5月16日

1906年9月30日下午，20万巴黎人聚集在市中心附近，观看即将成为世界上最负盛名的燃气气球比赛的首秀。来自七个国家的十六位最伟大的在世航空员，目标是在着陆前尽可能远地飞行，除了氢气释放阀之外，没有任何东西可以控制他们的飞行器。

当黄色和琥珀色的气球（每个都超过50英尺高）升空时，天气再平静不过了。但是，太阳下山、观众散去之后，风向发生了变化，猛烈地将气球分散在诺曼底周围，并穿过英吉利海峡进入英格兰。

航空员们不知不觉地参与了一项将改变数理物理学进程的实验。近二十年后，一位名叫Lewis Fry Richardson的贵格会科学家在研究湍流天气的影响时，在《航空杂志》上偶然发现了一份关于他们着陆点的表格。他绘制了气球数据的图表，以及他自己收集的火山爆发后灰烬的运动和被风吹走的蒲公英种子轨迹的数据。

在每种情况下，他都观察到相同的模式：地球大气湍流，无论是在大尺度还是小尺度上，都以惊人的效率分散物体。 Richardson后来写出了一条关于该过程如何运作的通用定律，一百多年后，数学家们仍在努力证明这一点。

湍流是现代科学中最伟大的谜团之一。模拟流体流动（从河流到气流）的方程可以追溯到两个世纪前，当流体平稳流动时，它们工作得很好。但是，当流动变得湍急时，流体会分裂成涡流和漩涡，进而发展成更小的漩涡。这种模式以越来越小的尺度持续下去，直到分子碰撞最终阻止涡流的形成。这些不同大小的漩涡相互影响，使得无法使用这些方程来模拟流体的行为。我们根本无法知道流体中的给定粒子（或者说，掉入汹涌河流中的橡皮鸭）下一步会做什么。

通过收集数据并在计算机上模拟流体，物理学家已经能够推断出湍流的一些特性。但是，数学家通常无法证明这些陈述。湍流的数学之谜是价值100万美元的千禧年难题的核心，是数学界最大的挑战之一。

Richardson提出了另一个关于湍流的陈述。他假设，如果你把两只橡皮鸭扔进河里，它们会比你预期的更快地越漂越远。所有这些漩涡和涡流的相互作用会给鸭子带来特殊的推动力。

今天，这种增强的散射，被称为Superdiffusion，被认为是湍流的标志。但是直到最近，即使在高度简化的流体模型中，也没有得到严格的证明。

这种情况终于在去年发生了改变。三位数学家首次证明，放入简化湍流流体中的粒子确实表现出Superdiffusion：它们以可预测但异常快速的方式扩散。

纽约大学库朗研究所的数学家Vlad Vicol（未参与这项工作）说：“我认为这将证明是湍流数学最重要的事件之一。”

但是，对于库朗研究所的数学家、这篇新论文的作者之一Scott Armstrong来说，结果远不止是湍流。在过去的十年中，他一直在宣传一种神秘数学技术的潜力。他坚信它比数学家意识到的要强大得多——这一说法遭到了许多同行的怀疑。现在，在利用该技术解决湍流问题之后，他希望开始改变人们的想法。

Hocus-Pocus

Armstrong 没想到他的研究会涉及到湍流。“十年前，我不知道什么是湍流，”他说。“在研究一个非常冷僻的问题后，我误入了湍流领域。”

他当时正在使用一种称为均质化的数学程序来分析金属材料的简化模型。在正确的场景下，均质化可以让你证明，在小尺度上看起来复杂而嘈杂的系统实际上在大尺度上表现出简单的行为。它本质上是一组论证，表明小尺度的噪声如何在长距离上平均化。

但是，均质化通常只在非常严格的假设下才能起作用。小尺度的噪声必须在一定的范围内——不能太极端。这限制了均质化的用途：数学家只使用它来分析物理系统的最简单表示。

然而，Armstrong看到了均质化中其他人没有看到的美丽和潜力。他认为，如果他磨练这项技术，它就可以用于更嘈杂的环境中，更贴近现实。“我一直认为，最终，这件事应该适用于很多问题，”他说。“如果我能让它真正发挥作用，这将是一个重要的想法。”

但首先他需要一个测试案例。他想用均质化来证明一些没人认为它能处理的东西——一个数理物理学家关心的问题。

这就是湍流的用武之地。

Richardson 假设，在湍流流体中，最大涡流携带的能量会为稍小的涡流提供动力，依此类推，一直到最小的尺度，在那里，能量会被流体分子之间的摩擦转化为热量。他用一首韵文概括了这个想法：“大漩涡有小漩涡，它们以速度为食，小漩涡有更小的漩涡，依此类推，直到粘性。”

Richardson 推测，这个过程应该会导致扔进河里的两只鸭子之间的距离按照一个在经典物理学中无处不在的简单方程（称为扩散）增长。只是在这种情况下，能量从较大涡流到较小涡流的级联会提高该增长的速度——因此在湍流流体中，鸭子会表现出后来被称为Superdiffusion的现象。

但是，与许多湍流现象一样，数学家无法证明它。

因此，在 20 世纪 80 年代后期，一群物理学家简化了这种情况。他们创建了一个理想化湍流流体的简化模型。这种流体仍然表现出湍流的特征性涡流和漩涡，但它受更简单的方程控制。然后，该团队提出了 Richardson 提出的相同问题：如果他们将固体颗粒（或鸭子）放入这种假想流体中，它们会以多快的速度分散开来？

正如 Richardson 所做的那样，研究人员推测这些粒子会表现出Superdiffusion，尽管其速度与在真实流体中不同。他们使用物理学中的一种称为重整化的技术确定了该速率。但是，众所周知，重整化缺乏严谨性——著名物理学家 Richard Feynman 称其为“hocus-pocus”——即使它经常给出正确的答案。多伦多大学的Jeremy Quastel说，数学家们只设法在少数情况下使重整化变得严格。“问题在于，这是一个非常模糊的想法，”他说。

因此，虽然数学家能够证明关于粒子如何在物理学家的理想化流体中扩散的其他陈述，但他们无法证明他们关于Superdiffusion的猜想。几十年来，似乎任何研究湍流的人都面临着一个选择——要么使用模糊的、手舞足蹈的论证来提出强有力的猜想，就像物理学家团队所做的那样，要么坚持严格的数学并证明一小部分具有重大意义的事情。

除非，Armstrong 认为，他可以让均质化为物理学家的重整化解释奠定更坚实的数学基础。

步步为营

为了表明湍流流体中的粒子会以足够快的速度扩散——从流体涡流的相互作用中获得额外的能量——Armstrong 首先必须更好地了解这种扩散是什么样的。

这就是他希望引入均质化的地方：为了表明在大尺度上，流体行为的某些方面可以用简单的方程来描述，而这些方程反过来会告诉他粒子的扩散率。其他数学家对此表示怀疑。研究人员之前曾试图使用均质化来解决与湍流相关的问题，但他们从未取得太大的进展。因此，当 Armstrong 提到他的目标时，他回忆说，“他们说我无法证明它。”

但他并没有放弃。他与他的长期合作者Tuomo Kuusi（赫尔辛基大学的数学家）合作——“我几乎和他结婚了。我的意思是，你怎么描述你最好的朋友？” Armstrong 说——以及Ahmed Bou-Rabee（他在库朗研究所的博士后研究员）。三位数学家着手加强均质化，使其像原始重整化论证的严格版本一样发挥作用。

他们首先想象在他们的流体上叠加一个非常精细的网格。然后，他们计算了粒子平均在网格的每个方格中花费的时间。在某些方格中，流体的作用就像一条湍急的河流：粒子倾向于直接扫过方格，只在那里花费很短的时间。在其他方格中，小的涡流可能会推动粒子四处移动，减慢它们的速度。

问题在于，数学家计算出的数字可能在方格之间差异很大——这正是通常阻止数学家使用均质化的小尺度无序。

Armstrong、Bou-Rabee 和 Kuusi 需要找到一种方法来解决这个问题。

整理无序

数学家们希望表明，在比他们的网格捕获的尺度稍大的尺度上，流体的行为会稍微不那么嘈杂和无序。如果他们能做到这一点，他们就能使用典型的均质化技术来理解最大尺度上发生的事情。

但是其他数学家认为，即使他们成功地分析了那些中间小尺度，流体只会显得更嘈杂。在事情变得更顺利之前，涡流会首先以更复杂的方式合并和相互作用。试图证明其他情况将是一种徒劳的尝试。

该团队决定无论如何都要尝试。他们首先绘制了一个稍微粗糙的网格，其中每个方格都包含原始网格中的几个方格。原来居住在原始网格的不同方格中的较小涡流现在可能会被组合在一起，从而改变粒子在新方格中花费的平均时间。或者可能会出现更复杂的行为。

该团队再次计算了粒子在每个方格中停留的时间，以及与相邻方格相关的数字可能有多大差异。这需要付出艰苦的努力：他们必须跟踪每个方格中流体的行为将如何变化，以及它将如何改变粒子的可能运动。然后，他们表明，在这个更粗糙的网格中，相邻的数字倾向于差异较小。

他们对越来越粗糙的网格执行了此操作，直到他们表明，在较大（但仍然相对较小）的尺度上，流体看起来足够好，足以让他们使用典型的均质化。“你必须无限次地执行这个过程，而这个过程本身就是全新的，” Vicol 说。“他们能够做到这一点，从数学的角度来看，真是太疯狂了。” 这需要超过 300 页的计算和证明，并且花费了数学家近两年的时间。

“这是一次非常紧张的经历，”Bou-Rabee 说。“有很多周六早上，我们会在早上 6 点醒来，然后去办公室工作，然后在第二天重复。”

但是，一旦他们能够应用通常的均质化技术，他们就获得了足够多的关于大尺度流体的信息，从而知道放入其中的两个固体颗粒会根据扩散方程扩散。然后，三人评估了该扩散的速率，发现它与物理学家几十年前的推测完全一致。

他们证明了Superdiffusion猜想。

放眼长远

数学家将结果 分为两篇不同的论文，它提供了对湍流流体的一个特性的第一个严格的数学理解：它们以惊人的效率传播粒子的方式。这是对 Richardson 一个世纪前在欧洲气球爱好者分布中观察到的那种现象的第一个证明。“你不会经常得到这种明确的结果，”Quastel 说。“我印象非常深刻——很多人都印象非常深刻。”

就 Armstrong 而言，他将这项工作视为他对均质化雄心的辩护。“没人期望我们很快就会离开自己的领域，”他说。“因此，我们将使用这些方法来解决其他领域的问题，这没有任何迹象。”

赫尔辛基大学的数学家Antti Kupiainen对此表示赞同。“我认为更重要的是，他们有一种新方法，一种解决这些问题的新方法，”他说。在真实生活中的湍流中——猜想中简化的流体只是以最粗略的方式模拟——尺度以更强和更复杂的方式相互作用，从而导致更极端的Superdiffusion行为。也许 Armstrong、Bou-Rabee 和 Kuusi 的技术可以帮助研究人员逐步解决与更真实的湍流模型以及其他问题相关的相关问题。

毕竟，重整化被广泛用于物理学中，以理解在不同尺度上表现出不同行为的系统。Armstrong 希望他的技术也可以适用于证明这些上下文中的陈述——包括粒子物理学，这是重整化最初开发的领域。

“我觉得目前有很多开放的可能性，”Kuusi 说。“我认为这是我一生中最后一次发生这种事情，现在我将享受这一过程。”