凯撒的最后一口气：一个 Fermi 估算案例
Charlie Sabino
凯撒的最后一口气
_ 2025年5月23日 _ 我们每次呼吸会吸入多少个来自凯撒最后一口气的分子？ 令人震惊的是，答案是大约一个分子——我们确实与凯撒共享呼吸！ 而且，通过引申，我们每次呼吸都包含了_所有曾经活过的人_——苏格拉底、林肯、爱因斯坦等等——之前的呼吸。 这是不是很疯狂？
这是一个经典的 Fermi estimation 的练习——甚至有一本 书 以此命名。 这是一个很好入门的“餐巾纸数学”的强大之处，展示了你仅仅通过一些粗略的估算就能推断出多少东西。
估算数量是一项很有价值的技能——如果你不相信，请查看 Nabeel Qureshi's blog。 它比看起来更容易，也更有趣，而且我发现自己越来越喜欢它，因为我意识到我经常能将结果控制在一个数量级之内。
让我们一起来计算一下“凯撒的最后一口气”！
我们需要确定：
- 地球大气层的体积，以及
- 一口气的体积。
如果我们假设一口气均匀地扩散到整个大气层，并且这些分子能长期存在（这是一个合理的假设——氮气是相对惰性的），那么我们可以使用：
fraction=volume breathvolume atmosphere
来找到凯撒最后一口气占地球大气层的比例，然后将其乘以一口气中的分子数量，就能得到我们的答案（大气组成=呼吸组成）。
以下是一些“锚定”值：
- 地球的半径约为 6400 km = 6.4×10^6 m
- 大气层的稠密部分约为 10 km "高" = 10^4 m
- 大气层主要由 O₂ 和 N₂ 组成，两者都约为 30 g/mol (1 mol ≈ 6×10^23 个分子)
- 大气密度约为 1 kg/m³
- 想要更多用于 Fermi 估算的“锚定”数字，请点击这里
找到这些值本身就是一次 Fermi 估算——你可能知道珠穆朗玛峰大约有 10 公里高，或者飞机在这个高度巡航，并以此作为大气层厚度的估计。 更好的是，应用 geometric-mean trick: 如果大气层肯定超过 1 公里，但可能小于 100 公里，那么猜测 1×102=10 公里——这就是正确的数量级。
大气体积 球体的体积是 V=43πr3。 近似 43π≈4，我们得到 V≈4r3。 大气层是 r=6400km 和 r=6410km 之间的外壳，所以
Vatmosphere≈4((6400+10)3−64003)km3≈4.9×109km3≈5×109km3=5×1018m3。
一口气的体积 如果你用正常的一口气给气球充气，它可能有一个 ≈ 5 cm 的半径。 因此
Vbreath=43πr3≈4×53≈500cm3=5×10−4m3。
每次呼吸占大气层的比例
5×10−45×1018=11022 of the atmosphere.
每次呼吸的分子数 一口气的质量是
5×10−4m3×1kg/m3=5×10−4kg=5×10−1g。
然后
6×1023moleculesmol×1mol30g×0.5g=1022moleculesbreath.
综合起来
1022×11022=1
因此，我们每次呼吸都会吸入 大约一个分子 凯撒的最后一口气。 显然，我们做了很多简化。 但是，我们可以确信我们的数量级是正确的！
如果你想了解更多，这里 是一个有趣的网站，你可以在这里练习。 如果你像我一样从事软件工程，并且想要更多的实践经验，请查看 this repo 及其 corresponding tech talk。 最后，这里 是另一篇关于 Fermi 估算的优秀文章。 14 Powered by Bear ʕ•ᴥ•ʔ